Metoditchka_Vyshka_ch2

11

Достаточные условия экстремума. Пусть P0 (x10 , x20 ,..., xn0 ) – стационарная точка функции u = f (P), причём эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P0 и все её вторые частные производные

случае для выяснения вопроса требуется дополнительное исследование).

В частном случае функции двух переменных достаточные условия экстремума можно сформулировать следующим образом. Пусть P0 (x0 , y0 ) – ста-

ционарная точка функции z = f (x, y), причём эта функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки P0 и все её вторые частные производные непрерывны в точке P0 . Введём обозначения:

A = fxx′′(x0 , y0 ), B = fxy′′ (x0 , y0 ), C = fyy′′ (x0 , y0 )

и

D = AC − B2 .

Тогда:

1) если D > 0 , то функция z = f (x, y) имеет в точке P0 (x0 , y0 ) экстремум,

аименно – максимум при A < 0 (C < 0 ) и минимум при A > 0 (C > 0 );

2)если D < 0 , то экстремум в точке P0 (x0 , y0 ) отсутствует;

3)если D = 0 , то требуется дополнительное исследование.

3. Условный экстремум. Функция u = f (P) = f (x1,..., xn ) имеет условный максимум (условный минимум) в точке P0 (x10 , x20 ,..., xn0 ), если существует такая

12

окрестность точки P0 , для всех точек P которой ( P ≠ P0 ), удовлетворяющих

уравнениям связи

ϕk (P) =ϕk (x1,..., xn ) = 0 ( k =1,2,...,m ; m < n ),

выполняется неравенство f (P0 )> f (P) (соответственно f (P0 )< f (P)). Задача нахождения условного экстремума сводится к исследованию на

обычный экстремум функции Лагранжа

при dx12 + dx22 +... + dxn2 ≠ 0. А именно, функция f (P) имеет условный максимум в точке P0 (x10 , x20 ,..., xn0 ), если для всевозможных значений dx1 , dx2 , …, dxn ,

В случае функции z = f (x, y) при уравнении связи ϕ(x, y)= 0 функция Лагранжа имеет вид

13

L(x, y,λ)= f (x, y)+ λ ϕ(x, y).

Система (6) состоит из трёх уравнений:

∂∂Lx = 0 , ∂∂Ly = 0 , ϕ(x, y)= 0 .

Пусть P0 (x0 , y0 ), λ0 – любое из решений этой системы и

0 ϕ′x (P0 ) ϕ′x (P0 )

=− ϕ′x (P0 ) Lxx′′ (P0 ,λ0 ) Lxy′′ (P0 ,λ0 ) .

ϕ′y (P0 ) Lxy′′ (P0 ,λ0 ) L′′yy (P0 ,λ0 )

Если < 0 , то функция z = f (x, y) имеет в точке P0 (x0 , y0 ) условный

максимум; если > 0 – то условный минимум.

4. Наибольшее и наименьшее значения функции. Если функция f (P)

дифференцируема в ограниченной замкнутой области, то она достигает своего наибольшего (наименьшего) значения или в стационарной точке или в граничной точке области.

5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Касательной плоскостью к поверхности в её точке M0 (точка касания) называется плос-

кость, содержащая в себе все касательные к кривым, проведённым на поверхности через эту точку.

Нормалью к поверхности называется прямая, перпендикулярная к касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Если уравнение поверхности имеет вид

F (x, y, z)= 0 ,

то уравнение касательной плоскости в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) есть

Fx′(x0 , y0 , z0 )(x − x0 )+ Fy′(x0 , y0 , z0 )(y − y0 )+ Fz′(x0 , y0 , z0 )(z − z0 )= 0 .

Уравнения нормали:

В случае задания поверхности в явной форме

14

z = f (x, y)

уравнение касательной плоскости в точке M0 (x0 , y0 , z0 ) имеет вид

z − z0 = fx′(x0 , y0 )(x − x0 )+ fy′(x0 , y0 )(y − y0 ),

а уравнения нормали –

Интегральное исчисление функций одной переменной

§ 22. Основные методы вычисления неопределённого интеграла

1. Первообразная и неопределённый интеграл. Функция F (x) называ-

ется первообразной функции f (x), заданной на некотором множестве X , если F′(x)= f (x) для всех x X . Если F (x) – первообразная функции f (x), то Φ(x) является первообразной той же функции в том и только в том случае, когда Φ(x)= F (x)+C , где C – некоторая постоянная. Совокупность всех первообразных функции f (x) называется неопределённым интегралом от этой функции и обозначается символом ∫ f (x)dx . Таким образом, по определению

где F (x) – одна из первообразных функции f (x), а постоянная C принимает

действительные значения.

В силу установившейся традиции равенство (1) записывается без явного обозначения множества справа, т. е. в виде

∫ f (x)dx = F (x)+C ,

при этом C называют произвольной постоянной. Свойства неопределённого интеграла

1.(∫ f (x)dx)′ = f (x).

2.∫ f ′(x)dx = f (x)+C .

15

3.∫af (x)dx = a∫ f (x)dx , a ≠ 0 .

4.∫(f1 (x)+ f2 (x))dx = ∫ f1 (x)dx + ∫ f2 (x)dx .

Таблица основных неопределённых интегралов

xn+1

1.∫xndx = n +1 +C ( n ≠ −1).

2.∫dxx = ln x +C .

4.∫sin xdx = −cos x +C .

5.∫cos xdx = sin x +C .

6.∫cosdx2 x = tg x +C .

7.∫sindx2 x = −ctg x +C .

8.∫sindxx = ln tg 2x +C = ln cosec x −ctg x +C .

10.∫x2 dx+ a2 = 1a arctg ax +C ( a ≠ 0 ).

11.∫a2 dx− x2 = 21a ln xx +− aa +C ( a ≠ 0 ).

15.∫sh x = ch x +C .

16.∫ch x = sh x +C .

17.∫chdx2 x = th x +C .

18.∫shdx2 x = −cth x +C .

16

Отыскание неопределённого интеграла с помощью таблицы основных интегралов и тождественных преобразований называют непосредственным интегрированием.

2. Метод замены переменной. Существуют следующие два варианта этого метода.

а) Метод подведения под знак дифференциала. Пусть требуется вычислить интеграл ∫ f (x)dx . Предположим, что существуют дифферен-

цируемая функция u =ϕ(x) и функция g (u) такие, что подынтегральное выражение может быть записано в виде

f (x)dx = f (ϕ(x))ϕ′(x)dx = g (u)du

(указанное преобразование называется подведением u =ϕ(x) под знак дифференциала). Тогда

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(x))ϕ′(x)dx = ∫g (u)du u=ϕ(x),

т. е. вычисление интеграла ∫ f (x)dx сводится к вычислению интеграла

∫g (u)du (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u =ϕ(x).

Операция подведения функции ϕ(x) под знак дифференциала эквивалентна замене переменной x на новую переменную u =ϕ(x).

б) Метод подстановки. Пусть требуется вычислить интеграл ∫ f (x)dx , где функция f (x) определена на некотором множестве X . Введём новую переменную u формулой

x =ϕ(u):U → X ,

где функция ϕ(u) дифференцируема на некотором множестве U и осуществляет взаимно-однозначное отображение U на X , т. е. имеет обратную

u =ϕ−1 (x): X →U .

Подставив x =ϕ(u) в исходное подынтегральное выражение, получаем

f (x)dx = f (ϕ(u))ϕ′(u)du = g (u)du .

Далее, справедливо равенство

17

∫ f (x)dx = ∫ f (ϕ(u))ϕ′(u)du u=ϕ−1(x) = ∫g (u)du u=ϕ−1(x),

т. е. вычисление интеграла ∫ f (x)dx сводится к вычислению интеграла

∫g (u)du (который может оказаться проще исходного) и последующей подстановке u =ϕ−1 (x).

3. Метод интегрирования по частям. Если u (x) и v(x) – дифференци-

руемые функции, то справедлива следующая формула интегрирования по частям:

∫u(x)v′(x)dx = u(x)v(x)− ∫v(x)u′(x)dx ,

или в краткой записи

Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение f (x)dx можно так представить в виде udv , что стоящий в правой части (2) ин-

теграл при надлежащем выборе выражений u и dv может оказаться проще исходного интеграла. При этом за u удобно принимать множитель, который упрощается при дифференцировании. Например, если под знаком интеграла стоит произведение многочлена на тригонометрическую или показательную функцию, то к u следует отнести многочлен, а оставшееся выражение к dv . При этом формула (2) может применяться неоднократно.

Если подынтегральная функция содержит сомножителем логарифмическую или обратную тригонометрическую функции, то их следует принимать за u , так как в результате дифференцирования эти функции упрощаются.

Иногда, после двукратного применения формулы интегрирования по частям, приходим в правой части к выражению, содержащему исходный интеграл, т. е. получаем уравнение с искомым интегралом в качестве неизвестного.

§ 23. Интегрирование основных классов элементарных функций

1. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование произволь-

фициентами в общем случае производится следующим образом.

18

Если m ≥ n , т. е. исходная дробь

рительно выделить в этой дроби целую часть, т. е. представить её в виде

Выделение целой части в дроби Pm ((x)) производится делением числителя

Qn x

на знаменатель «уголком».

Как показывает формула (3), операция выделения целой части сводит интегрирование произвольной рациональной дроби к интегрированию многочлена и правильной рациональной дроби.

Для того чтобы проинтегрировать правильную рациональную дробь

Pm ((x)), m < n , следует предварительно разложить её в сумму так называемых

Qn x

простейших дробей. Это разложение осуществляется следующим образом. Пусть знаменатель Qn (x)= an xn +... + a1x + a0 имеет действительные корни α1 ,

…, αl кратностей s1 , …, sl и комплексно-сопряжённые пары корней β1 , β1 , …, βk , βk кратностей t1 , …, tk соответственно ( s1 +... + sl + 2t1 +... + 2tk = n), т. е.

справедливо разложение

Qn (x)= an (x −α1 )s1 ...(x −αl )sl (x2 + p1x + q1 )t1 ...(x2 + pk x + qk )tk ,

где

x2 + pν x + qν = (x − βν )(x − βν ), ν =1,..., k .

Тогда разложение дроби в сумму простейших имеет вид

грала от простейшей дроби четвёртого типа является довольно сложным, и мы не станем входить здесь в детали.

2. Интегрирование тригонометрических и гиперболических функций.

а) Интегралы вида ∫sinm xcosn xdx .

Если хотя бы одно из чисел m или n – нечётное положительное целое число, то, отделяя от нечётной степени один сомножитель и выражая с помо-

щью формулы sin2 x + cos2 x =1 оставшуюся чётную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Если же m и n – чётные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

Если m + n = −2k , k `, т. е. m + n является целым чётным отрицательным числом, то целесообразно использовать подстановки tg x = t или ctg x = t .

Для вычисления интегралов вида ∫tgm xdx , ∫ctgm xdx , где m = 2,3,..., используются тригонометрические формулы

tg2 x =sec2 x −1, ctg2 x = cosec2 x −1.

В общем случае интегралы вида ∫sinm xcosn xdx , где m и n – целые чис-

ла, вычисляются с помощью рекуррентных формул, которые выводятся путём интегрирования по частям.

б) Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы:

cosα cos β = 12 (cos(α − β )+ cos(α + β )),

sinα sin β = 12 (cos(α − β )−cos(α + β )),