25. Свойства пределов и правила вычисления приделов. Функция f(X) в точке х0 может иметь только один предел.

Доказательство: Пусть (1)

и одновременно

где a≠b. (2)

Тогда для любой последовательности { х_n} сходящейся к х₀ (где все х_n≠ х₀), мы должны иметь два предела

что невозможно, т.к. последовательность {f(х_n)} может иметь только один предел.

2.Если f(x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что это не так. U₁=( х₀-ε ; х₀+ε), ε>0 . Ввиду неограниченности f(x) в этой окрестности должна найтись точка х₁ U₁ , такая что │f(х₁)│>1. Уменьшим вдвое эту окрестность и рассмотрим U₂=( х₀-ε/2 ; х₀+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х₂ U₂ , такая что │f(х₂)│>2. Продолжив это рассуждение, получим U_n=( х₀-ε/n ; х₀+ε/n) , f(х_n) > n, х_n → х₀ ; f(х_n)→∞. мы пришли к противоречию.

3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x) ≥b , то и если такой предел существует. (доказывается по соответствующему свойству предела числовой последовательности).

4.Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f(x)≥g(x) , то и если пределы существуют.

5. Если в некоторой окрестности точки х₀ имеем f(x)≥g(x)≥h(x) причем пределы f(x) и h(x) при х→ х₀ существуют и равны между собой

Арифметические свойства пределов.

26.Понятие производной функции. Геометрический смысл производной.

α- угол наклона

tgα = K

f’ (x₀)=K – геометрический смысл производной

Производные фун-ииy=f(x) вычисленная в точке х₀ (точка касания) есть угловой коэф-т касательной проведенной в точке х₀.

y-y₀ = f’ (x₀)(x-x₀) – ур-ие касательной проведенной в точке с координатами (x₀y₀)

y-y₀ = - (x-x₀) – ур-ние параллели, проведенной в точке касания

y₀ = f (x₀) – значение в самой ф-ции.

Пусть дана ф-ияy=f(x)

Разность между 2 соответствующими значениями ф-ии наз. Приращением ф-ции, обознач. ∆y.

∆y=f(x₂)-f(x₁) = f (x₁+∆x)- f(x₁)

Производной ф-иейy=f(x), в точке х наз. Придел отношения прирощения ф-ций

К прирощению аргумента при условии, что ∆х→0 если этот придел существует

Y’=f’(x)= =

Найти произ-ие ф-цииf(x)=x² :

1)аргументу х придадим прирощение∆х , получим точку х+∆х

2)найдем ∆y=f(x+∆x)- f(x) = (x+∆x)²= x² + 2x*∆x+(∆x)²- x²= ∆x (2x+∆x)

3)Составим отношение = = 2x+∆x

4)Найдем f’ (x)= =

(x²)’ = 2x

X₀=1 f’ (1)= 2*1=2

X₀=-2 f’ (-2)= 2*(-2) = -4

27.Правила вычисления производных:

1). c´=0

2). (c · u)´=c · u´

3). (u+/- v)´=u´+/- v´

4). (u· v)´= u´·v+u·v´

5). ()´=

Производная сложной функции:

Y=f(g(x)) – сложная функция, где х – основной аргумент функции.

U=(g(x)) – промежуточный аргумент функции.

Сложную функцию называют функцией от функции.

Производная сложной функции:

yꞌ=fꞌ꜡꜡꜡꜡꜡*uꞌₓ