21.Угол между 2 прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Углом между 2 прямыми l₁ :y=k₁x+b₁ ; l₂:y=k₂x+bназ.угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки по кротчайшему пути прямую l₁ до ее совпадения с прямой l₂.

–формула для вычисления тангенса угла между прямыми.

L₁//l₂→µ=0 k₂-k₁=0

tgµ=0 ; k₁=k₂

l₁//l₂↔k₁=k₂ – условие пар-сти 2 прямых

l₁⊥l₂ →µ=90°,

tgµ- не сущ.,

–не сущ.

1+k₁k₂=0

k₁k₂=-1

l₁⊥l₂↔k₁k₂=-1 – условие пер-сти 2 прямых

Пусть прямые заданы общими ур-ями

L₁:A₁x+B₁y+C₁=0 →n₁ (A₁,B₁)

L₂:A₂x+B₂y+C₂=0 →n₂ (A₂,B₂)

В этом случае углом между прямыми будет угол между их нормальными векторами µ= (n₁,n₂)

сosµ= - cos угла между прямыми

l₁//l₂↔n₁//n₂ ↔ – условие пар-сти 2 прямых

l₁⊥l₂↔n₁⊥n₂ ↔n₁*n₂=0 ↔ если 2 прямые перпендикулярны, то их векторы перпендикулярны

A₁A₂+B₁B₂=0 – условие пер-сти 2-ух прямых

22.Прямая в пространстве. Угол между 2 прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности 2 прямых.

Пусть дана т. М_о (x_o,y_o,z_o) и (m,n,p), тогда уравнение прямой проходящей через т. М_о ││имеет вид–канонические уравнения прямой; параметрические уравнения прямой:

; ;;

; ;;

; ;;

Пусть даны точки М₁(x₁,y₁,z₁), M₂(x₂,y₂,z₂), тогда: –уравнения прямой проходящей через 2 точки.

Пусть даны:=>(m₁, n₁, p₁); =>(m₂, n₂, p₂)

Под углом между прямыми в пространстве будем понимать угол между направляющими векторами этих прямых φ= .

- формула для нахождения cos φ между прямыми в пространстве

=><=>– условие параллельности 2 прямых

–условие перпендикулярности 2 прямых

23.Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Пусть плоскость Q задана уравнением A_x+B_y+C_z+D=0, а прямая L уравнениями ==

Углом между прямой и плоскостью, называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим через α угол между плоскостью Q и прямой L, а через β – угол между векторами =(A,B,C) и =(m,n,p). Тогда cosβ=. Найдем синус угла α, считая α ≤:sinα=sin(– β) =cosβ. И так как sinα ≥ 0, получаем

Sinα=

Если прямая L параллельна плоскость Q, то векторы иперпендикулярны, а потому=0, т.е.

A_m+B_n+C_p=0

Является условием параллельности прямой и плоскости.

Если прямая L перпендикулярны плоскости Q, то векторы ипараллельны. Поэтому равенства

Являются условием перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть требуется найти точку пересечения прямой

C плоскостью Ax+By+Cz+D=0

Для этого надо решить систему уравнений. Проще всего это сделать записав уравнение прямой в параметрическом виде.

Представляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости, получаем уравнение A(x+mt)+B(y+nt)+C(z0+pt)+D=0 или t(Am+Bn+Cp)+(Ax0+By0+Cz0+D)= 0

Если прямая L не параллельная плоскости, т.е. если Am+Bn+Cp≠0, то из равенства находим значение t

t= .

Подставляя найденное значение t в параметрические уравнения прямой, найдем координаты точки пересечения прямой с плоскостью.

Рассмотрим теперь случай, когда Am+Bn+Cp=0 (L||Q):

а) если F=Ax0+By0+Cz0+D≠0, то прямая L параллельная плоскости и пересевать ее не будет (уравнение решения не имеет, так как имеет вид 0*t+F=0, где F≠0);

б) если Ax0+By0+Cz0+D=0, то уравнение имеет вид t*0+0=0; ему удовлетворяет любое значение t, любая точка прямой является точкой пересечения прямой и плоскости. Заключаем: прямая лежит в плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств:

Является условием принадлежности прямой плоскости.