15. Уравнение прямой проходящей через точку параллельно вектору. Уравнения прямой проходящей через 2 точки.

Вектор II данной прямой наз. Направляющим вектором этой прямой

ур-е прямой проходящей ч/з точку

ур-е прямой проходящей ч/з 2 точки

17. Уравнение прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

Дана точка М₀ (x₀, y₀) и имеющие угловой коэффициент К. Составить ур-е прямой, проходящей через эту точку в заданном направлении (направление задаётся угловым коэффициентом).

Воспользуемся ур-ем «5»,

Т.к. точка М₀ лежит на прямой, то её координаты удовлетворяют ур-ю этой прямой.

М₀ (х₀, у₀) у₀ = kх₀ + b =>b = у₀ - kх₀

Подставим «b» в ур-е «5» у=kx+b

y=kx+y₀-kx₀

y-y₀=kx-kx₀

y-y₀=k(x-x₀)

«6» - ур-е прямой, проходящей через точку в заданном направлении.

Чтобы найти угловой коэффициент прямой, заданной общим ур-ем, нужно в общем ур-ии выразить у.

пример: 2х-3у+5=0

-3у= -2х-5

у= х +

16. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Углом наклона прямой наз-ся угол который образует прямая с положительным направлением оси ОХ.

L – острый L – тупой

Угловым коэффициентом прямой называется tg угла наклона k = tgα

1. α – острый, k>0

2. α - тупой, k<0

3. α=0, k=0

4. α=90⁰, k – не сущ.

Составим ур-е прямой, угловой коэффициент = к и которая отсекает на оси ОУ отрезок = b.

1)Выберем текущую точку М(х;у). 2)Из точки М опустим перпендикуляр на ось ОХ, из точки В проведем прямую параллельную оси ОХ.

∆МВА: tgα = AM/AB

tgα = k

AM = y – b

AB = x

k =

3) Из последующего равенства выразим У : y – b = k*x

«5»: y = kx+b – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

18.Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

Углом между 2 прямыми L₁ и L₂ наз. Угол на который нужно повернуть против часовой стрелки по кратчайшему пути прямую l₁ до её совпадения с прямой l₂.

Формула для вычисления tgϕ между прямой

L₁ II L₂=>ϕ =0, tgϕ=0, ; K₂-K₁=0

L₁IIL₂K₁=K₂ условие параллельности двух прямых

L₁ перпендикулярно L₂ =>ϕ=90^o

Tgϕ –не существует, –не существует, 1+K₁K₂=0

L₁перпен-но L₂ =>K₁K₂=-1 – Условия перпендикулярности 2-х прямых

- косинус угла между прямыми

L₁IIL₂₁₂

A₁A₂+B₁B₂=0

19. Линии 2-го порядка.

К линиям 2-го порядка относятся: окружность, элипс, гиперболла, параболла. 1) Ур-ниеокружности имеет вид: каноническое ур-ние - х²+у²=R² с (0,0) –центр окружности.Например: (x-а)²+(у-в)²=R² с (а:в) – цент окружности; 2) элипс – это линия уравнение которой имеет вид (по модулю), а,в –полуоси элипса. Т.к.х и у содержится в уравнении во 2-й степени, то линия симетрична относительно координатных осей. Найдем точки пересечения элипса с осями координат С ох:у=0; х²=а²; х=+-а. (-а; 0) и (а; 0) – точки пересечения (вершины элипса) С ох. С оу:х=0; у²=в²; у=+-в. (0,-в) и (0,в) - точки пересечения (вершины элипса) С оу. Элипс имеет 2 фокуса – это точки координат (-с;0) и (с;0), где с =3)Гипербола – это линия уравнение которой имеет вид а,в-полуоси гиперболы. Гипербола также симетрична относительно координатных осей. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. С ох:у=0;х²=а²; х=+-а. (-а,-) и (а;0) – точки пересечения гиперболы с ох. С оу:х=0; у²=-в². Точки пересечения с О оу гипербола не имеет. Решений нет. Фокусы гиперболы-это точки (-с;0) и (с;0) с = . 4)Парабола-это линия уравнение которой имеет вид у²=2рх; у²=-2рх; х²=2рх.

20. Уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости в отрезках. Пусть дана точка М (х₀; y₀ ; z₀ ) ; ( A ,B, C ) тогда уравнение плоскости проходящей через точку M₀ перпендикулярно норм. вектор плоскости имеет вид :

A (x-x0) + B (y-y0 ) + C ( z-z0)=0 .

Общее уравнение плоскости

A_X-A_X0+B_Y-B_Y0+C_Z-C_Z0=0

A_X+B_Y+C_Z+ ( -A_X0 – B_Y0-C_Z0 )=0

AX+ B Ax+BY+CZ+D=0

Уравнение плоскости в отрезках имеет вид

a , b , c -Отрезок который отсекает плоскость на оси