9. Линейная зависимость векторов.

Пусть дана система из mn – мерных векторов (). Векторы системы * наз. линейно-зависимыми, если сущ. числа () из которых хотя бы одно отлично от нуля и такие что

α₁+ α₂+ … + α_m= . Система векторов наз. линейно-независимой, если сущ. числа α₁=α₂= … = α_m=0, такие что α₁+ α₂+ … + α_m= .

Св-ва систем: 1) Если в системе векторов имеется , то система линейно-зависима; 2) Если к системе линейно-зависимых векторов добавить произвольный, то новая расширенная система будет также линейно-зависима; 3) Если из линейно-зависимой системы векторов удалить любой вектор, то получ. новая расширенная система будет также линейно-независимой; 4) Система векторов состоящая из 2-х и более векторов явл. линейно-зависимой, тогда и только тогда, когда хотя бы 1 из векторов системы явл. линейной комбинацией остальных – это св-во явл. критерием линейной зависимости векторов. Два не нулевых вектораиназ. калинеарными, если они линейно-зависимы– условие калинеарности в векторной форме.– условие калинеарности в координатной форме (если векторы калинеарны, то их координаты пропорциональны, верна и обратная). Три не нулевых вектора а, в и с наз. комплонарными, если они линейно-зависимы.

10.Базис и ранг системы векторов.Разложение вектора по заданному базису. Базисам данной системы вектора наз. максимальная подсистема векторы которой линейно-независимы. Теорема: Любой вектор системы может быть разложен по базису единственном образом. Коэффициенты разложения вектора по базису наз.координатами вектора в данном базисе. Один и тот же вектор в разных базисах имеет разные координаты. Рас.nn-мерных векторов след.вида:

1=(1,0,0,0…..,0)

2=(0,1,0,….,0)

3=(0,0,1….0)

n=(0,0,0,….1)

Эти вектора линейно-независимы т.к.равенство α11+22+α33+……..αnn=при условии что α1=α2=α3=…….αn и все они нули.Такая система векторов наз.стандартном базисом пространства Rn.

Ранг системы-это количество векторов в базисе этой системы.Для нахождения ранга системы векторов удобно пользоваться методом Гаусса при этом условия α11+α22+……+αnn=записываем в виде системы линейных уравнений относительно неизвестных α1,α2,…..,αn и решаем эту систему. Число базисных переменных полученных после прямого хода равно рангу системы.

Имеется система векторов 1,2,…,nєRn которая является линейно-независимой, нужно вектор в є Rn разложить по данному базису, т.е.представить вектор в след. виде α11+α22+……+αmmт.е.нужно найти координаты в данном базисе, а значит найти числа α1,α2,…..,αm.Для этого векторного уравнения запишем в координатной форме (векторы записываем в виде столбцов) получим систему уравнений которую решим методом Гаусса.

11.Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение 2-х n-мерных вектора =(,₂….а_n) и =(₁,₂…_n) наз-ся число равное сумме произведений соотв-х координат данных векторов обоз-ся: *=₁₁+₂₂+….+_nn

Св-ва скалярного произведения:

1.=

2.(+)*=+

3.α()=(α)=(α)

4.(α+β)=α()+β()

5.*=²≥0

Модулем или длиной вектора наз-ся число: │²│=²=

Вектор наз-ся единичным,если его длина=1,т.е. ││=1

Система вектора ₁,₂,…_mназ-сянормированой,если она состоит из единых векторов.Базис из единых верторовназ-ся нормированным базисом.

Векторы иназ-ся ортогональным(перпендикулярным)если:*.

Векторы стандартного базиса состоят из взаимно ортогональных единых векторов.

Ортогональный базис — базис, составленный из попарно ортогональных векторов.

Любая ортогональная система состоит из не нулевых векторов линейно независима.