11.4. Прогнозирование результатов деятельности с помощью нечетких регрессионных моделей

Современная эпоха характеризуется чрезвычайно быстрыми и глубокими изменениями социальных и экономических явлений, в результате чего очень трудно предсказать их развитие в будущем на основании формальной логики и традиционных математических методов, основанных на точных данных. Экономическая действи­тельность ставит перед исследователями целый ряд проблем, часто неразрешимых при использовании самых современных методов эко­номического анализа и аппарата классической математики.

Исследование экономических явлений в условиях изменчивости внешней среды и неопределенности развития событий требует со­здания эффективных методик анализа, пригодных для оценки и прогнозирования результатов деятельности в такой ситуации.

В настоящее время прогнозирование экономических явлений базируется преимущественно на детерминированных связях и точ­ных данных. Однако эти методы малоэффективны, потому что дей­ствительность далеко не всегда соответствует детерминированным * схемам. Применение вероятностных методов математической ста­тистики также не всегда эффективно, если используются субъектив­ные данные. Методы, направленные на получение точного ответа в условиях неоднозначно определенных параметров, присущих рын­ку, либо дают необъективное решение, либо существенно усложня­ют его поиск, увеличивая временные и вычислительные затраты.

Большую помощь в решении этих задач в условиях неопреде­ленности оказывают методы, основанные на теории нечетких мно­жеств, которая, по мнению A.M.Хил Лафуенте, способна описать неопределенную среду.

Теория нечетких множеств является частью математики, кото­рая ориентирует на обработку субъективного и неопределенного. Это попытка рассмотреть явления таким образом, как они представля­ются в реальной жизни, не деформируя их для того, чтобы сделать точными и четкими.

Возможности теории нечетких множеств очень широки. С ее помощью можно составить кратко- и долгосрочные прогнозы того или иного явления в условиях неопределенности и быстрой измен­чивости внешней среды.

Практическое использование нечеткой логики и теории размы­тых множеств позволяет развивать традиционные методы прогно-

258

259

зирования, приспосабливая их к новым потребностям учета не­определенности будущего. В частности, на основании теории не­четких множеств можно построить нечеткие регрессионные модели, используемые для прогнозирования уровня исследуемых показателей.

Процедура построения нечетких регрессионных моделей суще­ственно не отличается от процедуры разработки четких моделей. Требуются достаточная репрезентативность выборки и преемствен­ность данных, обоснование формы уравнения связи и т.д. Задача анализа — найти такое уравнение связи, которое бы наиболее точно описывало связи между значениями факторов и результативным по­казателем с учетом того, что данные связи размытые, нежесткие, т.е. коэффициентами уравнения регрессии являются нечеткие числа.

Чтобы понять сущность нечеткой регрессионной модели, рас­смотрим классический пример — линейную регрессионную тре­угольную модель. Предположим, что имеется ряд факторов х,, х₂, .-., х_п, определяющих результативный показатель К, а также выборки данных из т наблюдений о значении факторов и иссле­дуемого результата, которые могут быть четкими, как в случае тра­диционного регрессионного анализа, и размытыми (например, многовариантными экспертными оценками). Требуется опреде­лить такую функцию i^r(x,,x₂, ...,x_n) = a_lx_l + a^c₂ + ... + a_lpc_n^ra_Q, где й₀, о,, а₂,..., а_п — нечеткие симметричные доверительные тройки, которая бы наиболее точно описывала значения результативного показа геля.

Каждый нечеткий коэффициент будет иметь вид a_t = {а_{-Ь_р д_;, cij + bj), где a_t — наиболее вероятное значение коэффициента, а ве­личина bj описывает ширину размытости коэффициента. Тогда искомая функция ^при каждом наборе значений факторов от 1 до т также будет описываться в виде треугольного симметричного нечеткого числа, внутри которого должно располагаться реальное значение результата, соответствующее данному набору факторов.

Формальное описание модели можно представить следующим образом:

значения результата У в интервал возможных значений F;

Ь; > 0, для V ■ = 1, п — ширина интервала, не может быть отрица­тельной.

Необходимо найти такие значения й_;и^., чтобы ширина полу­чаемого нечеткого коридора, описывающего реальные значения исследуемого результативного признака, была минимальной по сумме всех измерений:

Найденное уравнение нечеткой регрессии в отличие от уравне­ния четкой регрессии включает в себя три составляющие:

1. функцию, содержащую минимальные коэффициенты, зна­чения которой располагаются не выше любого из значений ап­проксимируемого параметра (К,);

2. функцию, содержащую максимальные коэффициенты и рас­полагающуюся не ниже исследуемого параметра (Г₃);

3. функцию, определяющую середину возможных значений исследуемого параметра (Y₂).

Между функциями (1) и (3) находятся все значения исследу­емого параметра. Именно по этой причине нечеткую регрессию часто называют «нечетким коридором».

Основываясь на данной теории и используя встроенную функ­цию «Поиск решения» в Excel, нами разработана нечеткая регрес­сионная модель для прогнозирования уровня издержкоемкости продукции. В качестве исходного материала использованы данные за последние 12 месяцев, предшествующие прогнозному периоду. Следующий квартал будет тестовым периодом для проверки на­дежности прогноза.

Основным критерием качества построения нечеткого коридора являются абсолютная и относительная оценки уровня его неопре­деленности (размытости). В случае треугольной нечеткой регрессии, которая нами использовалась, в качестве абсолютной оценки может выступать средняя ширина коридора. В качестве относительной — соотношение ширины нечеткого числа, описывающего прогнозное значение искомого параметра, к его среднему значению. В нашем примере (табл. 11.4) средняя ширина нечеткого коридора — 6,08.

Дополнительным критерием качества построения нечеткой рег­рессии является равномерность распределения значений искомо­го параметра внутри нечеткого коридора. Для достижения такой равномерности возможно введение дополнительного ограничения на число точек, лежащих выше середины нечеткого коридора. Воз­можно также использование ограничения на уровень размытости свободного коэффициента. При снижении размытости последне­го достигается снижение гипотетической ошибки прогноза от со-

260

261

Таблица 11.4

Коэффициенты нечеткой регрессионной модели издержкоемкости продукции

Показатель	а,-	о.
Свободный коэффициент	102,000	0,000
Темп прироста цен на материальные ресурсы, % (х,)	2,900	0,070
Месячная выработка работника, тыс. руб. (х7)	-0,087	0,016
Доля продукции высшего качества, % (хя)	-0,060	0,015
Целевая функция (к минимуму)
Уровень неопределенности (УН) (средняя ширина нечеткого коридора)		6,081
Дополнительные ограничения:
1) на уровень неопределенности коэффициента 6,	не более, %	2
2) на равномерное распределение точек в области коридора	Количество точек выше середины (от —до)
	5	7

лутствующего воздействия побочных факторов, которые, как пра­вило, не являются определяющими. Применение данного ограни­чения не понадобилось, так как уровень размытости свободных коэффициентов в полученном уравнении регрессии равен нулю.

Как показывают рис. 11.2 и данные табл. 11.5, высокая точностьполученной модели при проверке на тестовом отрезке подтверди­лась, так как реальные значения искомых параметров попали в коридор, описанный нечеткой регрессией. Причем в последние шесть месяцев фактический их уровень совпадает с серединой не­четкого коридора. Это подтверждает довольно высокий уровень достоверности результата.

Месяц 9 10 11 12 13 14 15 16

Рис. 11.2. Распределение искомого параметра в нечетком коридоре

Таблица 11.5

Результаты анализа издержкоемкости продукции

	Уровень издержкоемкости продукции, коп.
	Искомый параметр (факт)	Нижняя граница коридора	Середина нечеткого коридора	Верхняя граница коридора	Ширина нечеткого коридора
Данные для прог­ноза	90,5	87,9	91,0	94,0	6,0
	91,2	87,8	91,0	94,2	6,4
	90,8	87,0	90,1	93,3	6,3
	90,5	85,8	89,1	92,4	6,5
	89,4	85,5	88.8	92,0	6,5
	89,6	85,0	88,3	91,6	6,6
	88,9	85,8	89,0	92,2	6,4
	88,7	84,6	88,1	91,5	6,9
	88,3	84,4	87,9	91,3	6,9
	87,5	84,0	87,5	90,9	6,9
	87,3	84,1	87,5	90,9	6,8
	87,2	83,8	87,2	90,7	6,9
Тест	87,1	83,6	87,1	90,6
	86,8	83,4	86,9	90,3
	86,6	83,1	86,6	90,1

Следовательно, полученную модель можно использовать для прогнозирования издержкоемкости продукции. Для этого прогноз­ные значения факторов нужно подставить в полученное уравнение и рассчитать левое, среднее и правое значения результативного показателя на следующий период:

К, - (2,2; 2,9; 3,6)х, + (-0,071; -0,087; -0,103)х, +

+ (-0,045; -0,06; -0,075)х₃ + 102,0;

Y_x (левое) = 2,2 ■ 0,7 - 0,071 ■ 143 - 0,045 • 75 + 102,0 - 83,6%;

У, (среднее) = 2,9 ■ 0,7 - 0,087 143 - 0,060 ■ 75 + 102,0 = 87,1%;

. К, (правое) = 3,6 ■ 0,7 - 0,103 143 - 0,075 ■ 75 + 102,0 = 90,6%.

Полученное уравнение, описывающее взаимосвязь между ис­следуемыми факторами и издержкоемкостью продукции, позво­ляет делать предположения об интервале возможных изменений последней с возрастанием степени достоверности к середине не­четкого коридора (функции Y_}), что значительно повышает анали­тический потенциал регрессионного анализа. В данном случае можно предполагать, что издержкоемкость продукции будет коле­баться в интервале от 83,6 до 90,6%. Середина данного интервала

В62

263

'Д

(87,1 %) отражает наиболее вероятное ее значение в первом месяце прогнозного периода.

Таким образом, регрессионные модели, построенные на основе теории нечетких множеств, обладают существенными преимуще­ствами по сравнению с традиционными, поскольку позволяют прогнозировать результат в рамках заданного коридора.

Вопросы для контроля знаний

1. Каковы основные задачи и этапы перспективного анализа?

2. Какие основные методы используются в перспективном ана­лизе?

3. В чем сущность эвристических методов анализа?

4. Каковы основные разновидности метода экспертных оце­нок?

5. В чем сущность метода экстраполяции?

6. Каковы основные способы выявления тренда в рядах динами­ки?

7. Какую роль играют корреляционно-регрессионный и дискри-минантный анализ в прогнозировании исследуемых явле­ний?

8. Каковы роль и задачи анализа чувствительности результатов деятельности к управленческим воздействиям и факторам внешнего характера?

9. Какова в общих чертах методика анализа чувствительности?

10. В чем сущность теории нечетких множеств и какова методика построения нечетких регрессионных моделей?

Задания для закрепления материала

1. На основании приведенных данных определите прогнозный уровень фондоотдачи на следующие три года, используя сред­негодовой темп абсолютного ее прироста и среднегодовой темп роста, а также метод выявления тренда с помощью регресси­онного анализа.

На основе приведенных данных дайте экономическую интер­претацию уравнения связи, оцените его надежность, полноту и точность и рассчитайте прогнозный уровень рентабельности (У) на следующий год:

Y_x= 5,6 + 0,062х, + 0,54х, + 0,11х₃ - 0,06х₄.

.Множественный коэффициент детерминации D =0,87. Расчетное значение критерия Фишера / = 92,6, объем выбор­ки-50.

Средняя ошибка аппроксимации ё = 3,7. Коэффициент Дарбина—Уотсона DW = 2,5.

Фактор	Значение показателя
	Факт отчетно­го года	План на следу­ющий год
х1 — фондоотдача, коп.	87	95
х2 — среднегодовая выработка работника, млн руб.	20	21
х3 — удельный вес продукции высшего качества,%	75	80
х4 — продолжительность оборота капитала, дни	125	120

На основании приведенных данных определите, как изменят­ся прибыль и рентабельность продаж за счет:

а) увеличения объема реализованной продукции на 10%;

б) изменения структуры реализованной продукции, если пла­ нируется долю первого изделия увеличить на 5%, а второго, соответственно, уменьшить на 5%.

Выручка от реализации продукции — 5000 тыс. руб. Постоянные издержки предприятия — 1500 тыс. руб.

Вид продукции	Цена, руб.	Переменные затраты на единицу продукции, долл.	Структура продаж, %
А	6	2,5	40
Б	5	3,0	60

Рассчитайте средневзвешенную стоимость капитала {WACC) и его чувствительность к изменению структуры капитала (пла­нируется долю заемного капитала увеличить до 40%).

Номер года	/	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Фондо­отдача, руб.	1,85	1,94	2,02	2,10	2,13	2,20	2,30	2,37	2,48	2,60	2,68	2,74

Источник капитала	Сумма, тыс. руб.
15%-ные акции	300 000
10%-ные облигации	100 000

265

5. Определите текущую стоимость бескупонной облигации но­миналом 10 000 руб., срок погашения которой через пять лет, ставка банковского процента — 12% годовых. Как изменится ее стоимость, если ставка банковского процента снизится до 10%?