Ряду распределения

№ п.п.	Варианты		Локальные частоты		Взвешенные средние варианты
	Символы	Урожайность, ц/га	Символы	Посевная площадь, га	Символы	Валовой сбор, ц
	х		f		xf
1	Х1	50	f1	20	Х1f1	1000
2	Х2	40	f2	25	X2f2	1000
3	Х3	60	f3	30	X3f3	1800
	…	..	…	…	…	…
n	хn	40	fn	100	xnfn	4000
Σ			Σf	1200	Σ xf	60000

7. Основные виды и формы средних величин, область их применения.

Cредняя хронологическая величина.

Одной из разновидностей средней арифметической величины является средняя хронологическая. Среднюю величину, исчисленную по совокупности значений признака в разные моменты или за различные периоды времени, принято называть средней хронологической. Её применяют для нахождения среднего уровня в динамических рядах.

В отличие от вариационного ряда, характеризующего изменение явлений в пространстве, динамический ряд представляет собой такой ряд чисел, который характеризует изменение явлений во времени. Ряды динамики иногда называют временными или хронологическими.

В динамическом ряду с равными периодами времени применяется следующая формула:

где - порядковые уровни моментного ряда; n – число моментов ряду.

Например, в сельскохозяйственном предприятии (СХП) по состоянию на начало каждого месяца имелось следующее поголовье свиней:

на 1 января – 500 голов;

на 1 февраля – 600 голов;

на 1 марта – 800 голов;

на 1 апреля – 1000 голов.

По этим данным необходимо определить среднеквартальную численность свиней в СХП.

Условно считается, что промежутки (интервалы) времени между начальными моментами (датами) каждого предыдущего и последующего месяца равны между собой. Следовательно, для расчёта среднеквартального поголовья свиней получим:

Это означает, что в среднем ежемесячно за первый квартал в СХП имелось 717 голов свиней.

В тех случаях, когда необходимо определить средний уровень моментного ряда динамики с неравными промежутками между моментами, обычно используют формулу средней арифметической взвешенной величины.

Например, численность работников в бригаде СХП составляла: на 1 апреля – 20 человек, на 11 апреля –25, на 30 апреля – 36 человек. Необходимо рассчитать среднемесячную численность работников в бригаде за апрель.

Как видно из приведённых данных, промежутки времени между указанными моментами (датами) не равны между собой: можно предположить, что в бригаде было на протяжении 1 дня – 20 человек., 10 дней – 25 чел., 19 дней – 36 чел. Следовательно, для расчета среднемесячной численности работников в бригаде воспользуемся формулой 6.5; получим:

Таким образом, за апрель в бригаде СХП численность в среднем 32 работника.

Средняя квадратическая величина.

В ранжированном ряду средняя квадратическая величина рассчитывается по невзвешенной (простой) форме:

где х – варианты ранжированного ряда; n – общее число вариант.

Взвешанная форма средней квадратической величины, которая используется для дискретного или интервального ряда, выражается следующим образом:

Средняя квадратическая величина, как самостоятельный вид средних, имеет ограниченное применение. Допустим, имеющееся две нестандартные цилиндрические емкости для хранения нефтепродуктов с диаметрами оснований 2 и 5 м необходимо заменить двумя новыми, равными по объему емкостями, имеющими в основании одинаковый диаметр. При расчёте среднего диаметра оснований новых емкостей по способу средней арифметической простой величины, т.е. полученный результат оказывается заниженным, и по этому диаметру объёмы новых емкостей будут меньше объемов имеющихся емкостей, что не соответствует условию задания. Дело в том, что площади оснований цилиндрических емкостей соотносятся между собой не линейно, а как квадраты их радиусов. Поэтому расчёт среднего диаметра новых емкостей целесообразно вести по средней квадратической простой величине:

Таким образом, диаметр оснований новых емкостей должен быть не 3,5, а 3,8 м.

Если же исходные данные представленных в виде дискретного или интервального ряда, то целесообразно применить способ средней квадратической взвешенной величины. Например, необходимо рассчитать средний диаметр сосновых брёвен по данным, приведённым в табл

Т а б л и ц а . Число и размер брёвен в штабеле

Число брёвен	Диаметр, см
	в вершине	в комле
10	25	35
20	35	45
30	45	55
10	55	65

Из данных табл. нетрудно убедится, что диаметр брёвен (варианта) представлен в виде интервального ряда, при этом число брёвен (частота) по каждой группе кратно 10. Это означает, что при расчёте среднего диаметра брёвен в штабеле выполняем по формуле ход расчёта вспомогательных данных при определении среднего диаметра покажем в табл..

Т а б л и ц а . Порядок расчета среднего диаметра брёвен в штабеле

Число брёвен		Диаметр, см		Середина интервала, см	Квадраты диаметра	Взвешенные квадраты диаметра
Факт., шт	сокращенное	в вершине	в комле
f				x	X2	X2
10	1	25	35	30	900	900
20	2	35	45	40	1600	3200
30	3	45	55	50	2500	7500
10	1	55	65	60	3600	3600
Σ 70	7	-	-	-	-	15200

Целесообразно обратить внимание на то, что с учётом применения второго свойства средних величин конечный расчёт среднего диаметра брёвен в штабеле принимает следующий вид:

Таким образом, средневзвешенный диаметр сосновых брёвен в штабеле, рассчитанный по способу средней квадратической величины, составляет 46,5 см.

Средняя геометрическая величина.

Средняя геометрическая величина имеет простую (невзвешенную) и взвешенную формы.

Средняя геометрическая простая величина, рассчитываемая в ранжированном ряду, выражается следующим образом:

где П – знак произведения; х – варианты; n – общее число вариант в ранжированном ряду.

Для дискретного или интервального ряда средняя геометрическая рассчитывается по взвешенной форме:

где f – частота дискретного или интервального ряда.

Средняя геометрическая величина применяется в тех случаях, когда варианты связаны между собой знаком произведения, т.е. главным образом при расчёте относительных показателей динамики: коэффициентов (темпов) роста, прироста и др.

Например, необходимо рассчитать, во сколько раз в среднем возросло производство сахарной свеклы в сельскохозяйственном предприятии за четырёхлетие, если известно, что цепные коэффициенты роста по годам составили соответственно 1; 0,9; 1,3; 1,5; раза. При решении этой задачи рассуждаем так: цепные коэффициенты роста не автономны, как в вариационном ряду распределения, а взаимозависимы, т.е. связаны между собой знаком произведения. Следовательно, наиболее точный результат может быть получен при условии применения средней геометрической невзвешенной величины по формуле:

Таким образом, производство сахарной свеклы за приведенное четырехлетие за каждый год в среднем возрастало в 1,151 раза.

Если имеет место дискретный или интервальный ряд, то при расчёте средней целесообразно воспользоваться взвешенной формой средней геометрической величины. Допустим, необходимо рассчитать среднегодовой темп роста валового производства картофеля в районе за 20 -–летний период по данным, приведём в табл..

Т а б л и ц а. Динамика валового производства картофеля в районе

Темпы роста производства картофеля, %		Число лет в каждом периоде
Интервалы	Средина интервала
	х	f
90-100	95	3
100-110	105	6
110-120	115	6
120-130	125	5
Σ	-	20

Как видно из данных табл., темпы роста производства картофеля представлены в виде интервального ряда, а темпы роста, как известно, связаны между собой знаком не суммы, а произведения. Это означает что для расчёта среднего роста за весь 20 – летний период целесообразно применить взвешенную форму средней геометрической величины:

Таким образом, за двадцатилетний период производство картофеля развилось со среднегодовым темпом роста 100,2 %.

Средняя гармоническая величина.

Название средней гармонической величины неслучайно, так эта средняя "гармонирует" со средней арифметической величиной.

Для ранжированного ряда используется средняя гармоническая простая величина, которую можно записать следующим образом.

где n – общая численность вариант; - обратное значение варианты.

Допустим, имеются данные о том, что при перевозке картофеля скорость движения автомобиля с грузом составляет 30 км/ч, без груза – 60 км/ч. необходимо найти среднюю скорость движения автомобиля. На первый взгляд представляется совсем несложное решение задачи: применить способ средней арифметической простой величины, т.е.

Однако, если иметь в виду, что скорость движения равна пройденному пути, разделённому на затраченное время, то совершенно очевидно, что полученный результат (45 км/ч) оказывается неточным, так как на прохождение одного и того же автомобиля с грузом и без груза (туда и обратно) затраты времени будут существенно различаться. Следовательно, более точная средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза может быть рассчитана по средней гармонической простой величине:

Таким образом, средняя скорость движения автомобиля с грузом и без груза составляет не 45, а 40 км/ч.

В дискретный или интервальных рядах используются средняя гармоническая взвешенная величина:

где W – произведение варианты на частоту (взвешенная варианта, xf).

Рассмотрим пример. Трудоемкость производства картофеля в первом подразделении сельскохозяйственного предприятия составляет 1 чел.-ч., во втором – 3 чел.-ч. В обоих подразделения на производство картофеля затрачено по 30 тыс. чел.-ч. необходимо рассчитать среднюю арифметическую трудоёмкость картофеля в сельскохозяйственном предприятии. Само собой разумеется, что беглый взгляд на исходную информацию подсказывает простое решение: среднюю трудоёмкость легко найти как полу сумму трудоёмкости картофеля в двух подразделениях, т. е. по способу средней арифметической простой величины:

Однако, при таком решении совершается две ошибки. Первая, принципиальная ошибка заключается в том, что при расчёте средней трудоемкости по способу средней арифметической простой величины не учитывается сущность самой трудоемкости, которая находится как отношение прямых затрат труда к объему продукции. Вторая ошибка состоит в том, что при решении не учтен приведенный по условию задачи конкретный объем затрат труда на производство картофеля (по 30 тыс. чел.-ч. в обоих подразделениях). Это позволяет рассчитать частоту (веса) для трудоемкости картофеля и, таким образом, найти среднюю арифметическую взвешенную трудоемкость, что будет успешно заменено путем применения средней гармонической взвешенной величины:

Таким образом, средняя трудоёмкость картофеля в сельхозпредприятии составляет не 2, как это было рассчитано выше, а 1,5 чел.-ч/ц.

Средняя гармоническая величина применяется главным образом в тех случаях, когда варианты ряда представлены обратными значениями, а частоты (веса) скрыты в общем объеме изучаемого признака.