Решение.

Рассматриваемая случайная величина X - продолжительность работы электроламп является непрерывной. Поэтому составляем интервальный статистический ряд, разбив изучаемую совокупность на 6 равных интервалов. Из таблицы обследования видно, что x_min=0, x_max=3345. Разделив размах вариации R= x_max – x_min =3345 на 6, получим длину интервала равной 557,5. После округления ( всегда в сторону увеличения ) имеем Dx =600. В результате имеем 6 интервалов: 0-600; 600-1200; …; 3000-3600. Далее считаем частоты каждого интервала ( в случае совпадения какого-либо значения с граничными значениями интервалов следует отнести к предыдущему интервалу ). Для нахождения числовых характеристик полученный интервальный ряд преобразуем в дискретный, взяв в качестве вариант середины интервалов. Результаты сведены в таблицу.

интервалы
0; 600	300	23	0,46	6900	2070000
600; 1200	900	13	0,26	11700	10530000
1200; 1800	1500	7	0,14	10500	15750000
1800; 2400	2100	4	0,08	8400	17640000
2400; 3000	2700	2	0,04	5400	14580000
3000; 3600	3300	1	0,02	3300	10890000
S		50	1	46300	71460000

Результаты последних двух столбцов упрощают расчет числовых характеристик по формулам ( 40-42 )

Строим гистограмму частостей ( прямоугольники, оснаваниями которых являются интервалы, а высотами – частости ) и полигон частостей ( ломанная, соединяющая середины верхних оснаваний прямоугольников ).

Гистограмма и полигон частостей.

По формулам (47) делаем точечные оценки генеральной совокупности.

; ; .

Для показательного распределения характерно равенство его математического ожидания и среднего квадратического отклонения. Так как достаточно близко к , а полигон частостей напоминает графическое изображение показательного закона, то выдвигаем гипотезу о распределении исследуемой случайной величины по показательному закону (23). Определяем параметр l из равенства

Тогда формула плотности вероятности имеет вид

Для окончательного подтверждения выдвинутой гипотезы воспользуемся критерием согласия c² Пирсона.

Как и в предыдущей задаче интервалы с частотами меньше 5 объеденяем в один. В результате получаем 4 интервала. Вероятности р_i для каждого интервала находим по формуле (15(б))

Значения можно брать из приложения 5. Аналогично вычисляются р₂, р₃, р₄. В последнем ( четвертом ) интервале правый конец берется , так как показательное распределение задается для всех х ³ 0.

Результаты вычислений сведены в таблицу.

Интервалы
0; 600	23	0,46	0,48	24	0,06
600; 1200	13	0,26	0,25	12,5	0,02
1200; 1800	7	0,14	0,13	6,5	0,05
1800; +¥	7	0,14	0,14	7	0,04
S	50	1	1	50	0,17

c²_наб=0,17. Число степеней свободы n = 4 – 1 – 1 = 2.

По таблице приложений 4 при уровне значимости a =0,05 находим c²_кр(0,05; 2)=6;

Так как <, то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении продолжительности работы электроламп.

Задача 7. По 23 хозяйствам получены данные о количестве внесенных удобрений х (ц/га) и урожайности зерновых у (ц/га).

х у	5; 15	15; 25	25; 35	35; 45	45; 55	mi
5; 15	1	2	3			6
15; 25		1	2	3		6
25; 35			2	4	2	8
35; 45				1	2	3
mj	1	3	7	8	4	23

Требуется:

1. Построить корреляционное поле.

2. Найти числовые характеристики

3. Найти коэффициент корреляции r_xy.

4. По характеру расположения точек на корреляционном поле и коэффициенту корреляции обосновать гипотезу о линейной корреляционной зависимости х и у.

5. Найти уравнения линейной регрессии у на х и х на у и построить их графики на корреляционном поле.