- •Высшая математика
- •Введение
- •1. Элементы векторной алгебры
- •1.1. Векторы, основные понятия
- •1.2. Координаты вектора и его длина
- •1. ; 2..
- •1.3. Линейные операции над векторами и их свойства
- •1.4. Операции над векторами в координатах
- •1.5. Деление отрезка в заданном отношении
- •1.6. Линейная зависимость векторов**
- •1.7. Скалярное произведение векторов, его свойства и применение
- •1.8. Векторное произведение двух векторов, его свойства и применение*
- •1.9. Смешанное произведение тройки векторов, его свойства и применение*
- •2. Задания, рекомендуемые для аудиторных и домашних занятий Практическое занятие 1
- •Домашнее задание к занятию 1
- •Домашнее задание к занятию 3*
- •3. Варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы студентов
- •4. ТестовЫе заданИя
- •5. Пример модульного задания
4. ТестовЫе заданИя
Задание 1.Ответить на вопрос задания, выбрав один из вариантов ответов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Вопрос задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1.1 |
Равнодействующая силравна … |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.2 |
Равнодействующая сил равна … |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.3 |
Равнодействующая сил равна … |
1)
|
2)
|
3)
0 |
4)
|
1.4 |
Равнодействующая сил равна … |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.5 |
Равнодействующая сил равна … |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.6 |
Заданы векторы . Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.7 |
Заданы векторы . Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.8 |
Заданы векторы . Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.9 |
Найти , если заданы векторы |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | ||
1.10 |
Найти , если заданы векторы |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.11 |
Заданы векторы .Найти |
1)
|
2)
|
3) |
4)
| ||
1.12 |
Заданы векторы Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.13 |
Заданы векторы Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.14 |
Заданы векторыНайти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.15 |
Заданы векторы Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.16 |
Равнодействующая сил равна… |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.17 |
Равнодействующая сил равна… |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.18 |
Равнодействующая сил равна… |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.19 |
Равнодействующая сил равна… |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.20 |
Равнодействующая сил равна… |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
| ||
1.21 |
Равнодействующая сил равна… |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1.22 |
Равнодействующая сил равна… |
1)
5 |
2)
|
3)
|
4)
|
1.23 |
Равнодействующая сил равна… |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.24 |
Заданы векторы ,,. Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.25 |
Заданы векторы,,. Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.26 |
Заданы векторы ,,. Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.27 |
Заданы векторы ,,. Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.28 |
Заданы векторы ,,. Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.29 |
Заданы векторы ,,. Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
1.30 |
Заданы векторы ,,. Найти |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
Задание 2.Ответить на вопрос задания, выбрав один из вариантов ответов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Вопрос задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2.1 |
Если , то длина вектора равна… |
1) 10 |
2) 7 |
3) 1 |
4) 5 |
2.2 |
Если , то длина вектораравна… |
1) 5 |
2) 7 |
3) 1 |
4) 10 |
2.3 |
Если , торавен… |
1) 8 |
2) 5 |
3) 10 |
4) 7 |
2.4 |
Если , торавен… |
1) 10 |
2) 5 |
3) 8 |
4) 7 |
2.5 |
Если, торавен… |
1) 4 |
2) 1 |
3) 5 |
4) 2 |
2.6 |
Если , торавен… |
1) 5 |
2) 1 |
3) 4 |
4) 2 |
2.7 |
Если , торавен… |
1) |
2) 10 |
3) 5 |
4) |
2.8 |
Если , торавен… |
1) |
2) 10 |
3) 5 |
4) |
2.9 |
Если , торавен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.10 |
Если, торавен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.11 |
Если , торавен… |
1) |
2) 5 |
3) 10 |
4) |
2.12 |
Если, торавен… |
1) |
2) 5 |
3) 10 |
4) |
2.13 |
Направляющий косинус угла между вектороми осью Ох равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.14 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Ох равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.15 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оу равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
2.16 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оz равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.17 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оx равен… |
1) |
2) |
3)0 |
4) |
2.18 |
Направляющий косинус угла между вектором и осьюОy равен… |
1) |
2) |
3) 0 |
4) |
2.19 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оz равен… |
1) |
2) |
3)0 |
4) |
2.20 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оx равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.21 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оy равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.22 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оz равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.23 |
Если K(2; –3), M(6; 0), торавен… |
1)3 |
2)4 |
3)6 |
4)5 |
2.24 |
Если C(1; 2), D(3; 5), то равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.25 |
Если, то равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.26 |
Если Д(4; 5), Е(6; 10), то равен… |
1) |
2) |
3) |
4) |
2.27 |
Если ,, то равен… |
1) 4 |
2) |
3) |
4) |
2.28 |
Если, то равен… |
1) |
2) |
2) |
4) |
2.29 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оy равен… |
1) |
2) |
3)0 |
4) |
2.30 |
Направляющий косинус угла между вектором и осью Оz равен… |
1) |
2) |
3)0 |
4) |
Задание 3.Ответить на вопрос задания, выбрав один из вариантов ответов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Вопрос задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3.1 |
Записать координаты вектора , если А(2; 1; 4),B(4; 3; 2), а точка С является серединой отрезка АВ |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.2 |
Записать координаты вектора , если А(2; –1; 4), B(4; 3; 2), а точка С является серединой отрезка АВ |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.3 |
Записать координаты вектора , если А(2; –1; 4),B(6; 7; 0), а точка С является серединой отрезка АВ |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.4 |
Записать координаты век-тора , если М(2; –3; 1), Р(6; 5; 3), а точкаN является серединой отрезка МР |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.5 |
Записать координаты век-тора , если Р(6; 5; 3), М(2; –3; 3), а точкаN является серединой отрезка РМ |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.6 |
Записать координаты вектора , если М(2; –3; 1),N(4; 1; 2), а точка N является серединой отрезка РМ |
1) (4; 8; 2) |
2)
|
3) (–4; 8; –4) |
4)
|
3.7 |
Записать координаты век-тора , если С(–1; 3; –5), О(3; –3; 3), а точкаE является серединой отрезка СО |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.8 |
Записать координаты вектора , если С(–1; 3; –5), О(3; –3; 3), а точкаEявляется серединой отрезка СО |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.9 |
Записать координаты век-тора , если С(–1; 3; –5), Е(1; 0; –1), а точкаE является серединой отрезка СО |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.10 |
Записать координаты вектора , если К(–2; –4; 8),L(2; –6; 4), а точка М является серединой отрезка KL |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3.11 |
Записать координаты век-тора , если К(–2; –4; 8),L(2; –6; 4), а точка М является серединой отрезка KL |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.12 |
Записать координаты век-тора , еслиK(–2; –4; 8), M(0; –5; 6), а точка М является серединой отрезка KL |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.13 |
Записать координаты век-тора , если А(3; –2; 5),B(–3; 4; –3), а точка С является серединой отрезка АВ |
1) (2; 5; 2) |
2)
|
3) (–3; 3; –4) |
4)
|
3.14 |
Записать координаты век-тора , если А(3; –2; 5),B(–3; 4; – 3), а точка С является серединой отрезка АВ |
1)
|
2) (–3; 3; –4) |
3) (–2; 5; 2) |
4)
|
3.15 |
Записать координаты век-тора , если А(3; –2; 5), С(0; 1; 1), а точка С является серединой отрезка АВ |
1) (–6; 6; –8) |
2) (–3; 3; –4) |
3) (–2; 5; 2) |
4)
|
3.16 |
Записать координаты век-тора , если А(2; 6; –2), С(6; 4; –2), а точка В является серединой отрезка АС |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.17 |
Записать координаты век-тора , если А(–1; 3; 1), В(–5; 11; 1), а точкаF является серединой отрезка АВ |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.18 |
Записать координаты век-тора , еслиM(–7; 3; 2), С(2; –7; 3), а точка C является серединой отрезка МО |
1) (18; –20; 2) |
2) (9; –10; 1) |
3) (10; 20; 2) |
4)
|
3.19 |
Записать координаты век-тора , если М(5; –2; 1), К(3; 4; 3), а точкаN является серединой отрезка МК |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.20 |
Записать координаты вектора , если С(3; 2; 1),М(5; 4; 3), а точкаD является серединой отрезка СМ |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.21 |
Записать координаты век-тора , еслиL(1; 4; 8), E(2; –1; 0), а точка E является серединой отрезка LK |
1) (10;–2;–16) |
2)
|
3) (1; –5; –8) |
4) (2;–10;–16) |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
3.22 |
Записать координаты вектора , если K(2; 4; 3),O(4; 2; 5), а точка E является серединой отрезка KO |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.23 |
Записать координаты вектора , если А(2; –1; 3),O(2;–3; 5), а точка E является серединой отрезка АO |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.24 |
Записать координаты вектора , если М(2; 3; 4), В(4; 5; 2), а точка В является серединой отрезка МO |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.25 |
Записать координаты вектора , если К(2; –1; –3), О(4; –3; 5), а точка Р является серединой отрезка КO |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.26 |
Записать координаты вектора , если С(–2; 4; 1), В(– 4; 2; 3), а точка А является серединой отрезка СВ. |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.27 |
Записать координаты вектора , если С(5; 1; 3), К(3; 1; 7), а точка К является серединой отрезка СD |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
3.28 |
Записать координаты вектора , еслиD(3; –1; 4), В(–3; –5; 6), а точка Е является серединой отрезка DВ |
1) –3 |
2)
|
3)
|
4)
|
3.29 |
Записать координаты вектора , если А(–3; 2; –5), В(–1; –4; 1), а точка Е является серединой отрезка АВ |
1)
|
2)
|
3) 3 |
4)
|
3.30 |
Записать координаты вектора , если А(1; 1; 1); В(0; –1; 2), а точкаB является серединой отрезка АD |
1)
|
2) (–2; –4; 2) |
3)
|
4) (2; 4; 2) |
Задание 4.Ответить на вопрос задания, выбрав один из вариантов ответов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Вопрос задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
4.1 |
Если два вектора исвязаны соотношением, где, то можно утверждать, что они… |
1) коллинеарны
|
2) ортого-нальны
|
3) равны
|
4) имеют одинаковое направление |
4.2 |
Соответствующие координаты векторовипропорциональны. Тогда можно утверждать, что эти векторы … |
1) равны
|
2) ортого-нальны
|
3) коллинеарны |
4) имеют одинаковую длину |
4.3 |
Если у векторов исоответствующие координаты различны, то эти векторы … |
1) равны по длине |
2) не равны
|
3) неколлинеарны |
4) ортогональны |
4.4 |
Если два вектора исвязаны соотношением, где, то можно утверждать, что эти векторы … |
1) равны
|
2) ортогональны |
3) неколлинеарны |
4) не равны |
4.5 |
Если у векторов исоответствующие координаты равны. Тогда можно утверждать, что эти векторы … |
1) равны
|
2) ортогональны
|
3) неколлинеарны
|
4) не равны |
4.6 |
Координаты векторов исвязаны соотношениями, тогда можно утверждать, что … |
1) вектор в 2 раза длиннее вектора |
2) противоположны по направлению |
3) вектор в 2 раза длиннее вектора |
4)
векторы равны
|
4.7 |
Координаты векторов исвязаны соотношениями, тогда можно утверждать, что они … |
1) равны
|
2) не равны
|
3) ортогональны
|
4) противоположны по направлению |
4.8 |
Координаты векторов исвязаны соотношениями, тогда можно утверждать, что они … |
1) противо- положны по направлению |
2) не равны
|
3) ортогональны
|
4) имеют одинаковое направление |
4.9 |
Известно, что векторы иколлинеарны, имеют одинаковую длину, но противоположны по направлению, тогда, гдеравно… |
1) 1 |
2) –1 |
3) 0 |
4) 2 |
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
4.10 |
Векторыиколлинеарны, имеют одно и то же направление, причем векторв 2 раза короче вектора. Тогда, гдеравно… |
1)
|
2)
2
|
3)
–2
|
4)
|
4.11 |
Векторыиколлинеарны, имеют одно и то же направление, причем, тогда, гдеравно… |
1)
3 |
2)
|
3)
–3 |
4)
|
4.12 |
Векторыиколлинеарны, имеют одно и то же направление и векторв 2 раза длиннее вектора, тогда, гдеравно… |
1)
2
|
2)
–2
|
3)
|
4)
|
4.13 |
Векторыиколлинеарны, имеют противоположные направления и векторв 2 раза длиннее вектора, тогда гдеравно … |
1)
2
|
2)
–2
|
3)
|
4)
|
4.14 |
Векторы иравны. Тогда, гдеравно… |
1) 1 |
2) –1 |
3) 0 |
4) 2 |
4.15 |
Векторыиколлинеарны, имеют противоположные направления и векторв 2 раза короче вектора, тогда, гдеравно… |
1)
|
2)
2
|
3)
–2
|
4)
|
4.16 |
Векторыиколлинеарны, имеют противоположные направления и векторв 4 раза длиннее вектора, тогда, гдеравно… |
1)
4 |
2)
|
3)
–4 |
4)
|
4.17 |
Векторыиколлинеарны, имеют одно и то же направление, причем, тогда, гдеравно… |
1)
2 |
2)
–2 |
3)
|
4)
|
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
4.18 |
Векторыиколлинеарны, имеют противоположные направления, причем векторв 4 раза длиннее вектора, тогда, гдеравно… |
1)
4 |
2)
–4 |
3)
|
4)
|
4.19 |
Векторыиколлинеарны, имеют одно и то же направление, причем, тогда, гдеравно… |
1)
2 |
2)
–2 |
3)
|
4)
|
4.20 |
Векторыиколлинеарны, имеют противоположные направления, причем, тогда, гдеравно… |
1)
3 |
2)
–3 |
3)
|
4)
|
4.21 |
Векторы иколлинеарны, имеют противоположные направления, причем векторв 5 раз длиннее вектора, тогда, гдеравно… |
1)
5 |
2)
–5 |
3)
|
4)
|
4.22 |
Векторы иколлинеарны, имеют противоположные направления, причем,, гдеравно… |
1)
|
2)
|
3)
3 |
4)
–3 |
4.23 |
Векторы иколлинеарны, имеют одно и то же направление, причем векторв 6 раз короче вектора, тогда, гдеравно… |
1)
|
2)
|
3)
6 |
4)
–6 |
4.24 |
Векторы иколлинеарны, имеют одно и то же направление, причем, тогда, гдеравно… |
1)
|
2)
3 |
3)
– 3 |
4)
|
4.25 |
Векторы иколлинеарны, имеют противоположные направления, причем, тогда, гдеравно… |
1)
|
2)
|
3)
–2 |
4)
2 |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
4.26 |
Векторы иколлинеарны, имеют одно и то же направление, причем вектордлиннеев 4 раза, тогда, гдеравно… |
1)
4 |
2)
–4 |
3)
|
4)
|
4.27 |
Векторы иколлинеарны, имеют противоположные направления, длина векторав 6 раз меньше длины вектора,, тогдаравно… |
1)
6 |
2)
–6 |
3)
|
4)
|
4.28 |
Векторы иколлинеарны, имеют одно и то же направление и, тогда, гдеравно… |
1)
5 |
2)
–5 |
3)
|
4)
|
4.29 |
Векторы иколлинеарны, имеют противоположные направления, причем, тогда, гдеравно… |
1)
7 |
2)
|
3)
|
4)
–7 |
4.30 |
Векторы иколлинеарны, имеют противоположные направления, причем, тогда, гдеравно … |
1)
|
2)
|
3)
7 |
4)
–7 |
Рекомендации к решению заданий 1–4.
Пример 1. Для заданных векторов ,. Найти.
Решение. Запишем векторы в координатной форме:,,.
Последовательно найдем результат: 1) ; 2); 3). Запишем полученный вектор в разложении по базису. Ответ:.
Пример 2. Найти равнодействующую заданных сил ,,.
Решение. Равнодействующая заданных сил равна их сумме, поэтому:.
Ответ: (4; –2; 0).
Пример 3. Найти длину и направляющие косинусы вектора , если.
Решение. Найдем координаты вектора , или. Вычислим длину вектора.
Тогда направляющие косинусы вектора будут равны:
.
Ответ: .
Пример 4. Найти длину вектора , если.
Решение. Граничные точки вектора заданы радиус-векторами точек. Запишем координаты этих точек:. Найдем координаты вектора, или. Тогда длина этого вектора будет равна:
.
Ответ: .
Пример 5. Для заданных точек инайти координаты вектора, где точка В является серединой отрезка АС.
Решение. Точка В является серединой отрезка АС, поэтому ее координаты найдем по следующим формулам:
;
, т.е. .
Тогда ,, или.
Ответ: .
Пример 6. Записать условие коллинеарности векторовив векторной форме, если векторыиимеют противоположные направления, а длина векторав 5 раз меньше длины вектора.
Решение. Условие коллинеарности в векторной форме имеет следующий вид: где. Значит, запишемили.
Задание 5. Ответить на вопрос задания, выбрав один из вариантов ответов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Вопрос задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5.1 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 12
|
2) 24
|
3)
|
4)
|
5.2 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1)
|
2) 90
|
3)
|
4) 45
|
5.3 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1)
|
2)
|
3) 30 |
4)
|
5.4 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 1 |
2) 0 |
3) 6 |
4)
|
5.5 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 15 |
2)
|
3) –15 |
4)
|
5.6 |
Найти скалярное произведение векторов , если
|
1)
|
2) 44 |
3)
|
4)
|
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5.7 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 7,5 |
2) 13 |
3) 0 |
4) 26 |
5.8 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 21 |
2) 42 |
3) –42 |
4) –21 |
5.9 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 14 |
2)
|
3) –7 |
4)
|
5.10 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 16 |
2) 32 |
3) –16 |
4)
|
5.11 |
Найти проекцию векторана вектор, если |
1)
|
2)
|
3) 5 |
4)
|
5.12 |
Найти проекцию векторана вектор, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.13 |
Найти проекцию векторана вектор, если |
1)
|
2) 42 |
3)
|
4)
|
5.14 |
Найти проекцию векторана вектор, если |
1) 40 |
2) 20 |
3) 1 |
4) 0 |
5.15 |
Найти проекцию вектора на векторесли |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.16 |
Найти проекцию векторана вектор, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.17 |
Найти проекцию векторана вектор, если |
1) 11 |
2) 0 |
3) 1 |
4) 2 |
5.18 |
Найти проекцию вектора на векторесли |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.19 |
Найти проекцию вектора на векторесли |
1) 74 |
2) 7 |
3) 1 |
4) –7 |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5.20 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) 1 |
2) 0 |
3) 24 |
4) 12 |
5.21 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.22 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.23 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.24 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.25 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.26 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.27 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.28 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.29 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5.30 |
Найти угол, образованный векторами и, если |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
Задание 6.Ответить на вопрос задания, выбрав один из вариантов ответов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Вопрос задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
6.1 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) |
2) |
3) |
4) –7 |
6.2 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) |
2) |
3) –7 |
4) 1 |
6.3 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) –22 |
2) |
3) |
4) |
6.4 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) 11 |
2) |
3) |
4) |
6.5 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) 1 |
2) |
3) |
4) 2 |
6.6 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) |
2) –2 |
3) |
4) |
6.7 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
6.8 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) 3 |
2) 2 |
3) 1 |
4) 0 |
6.9 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) 4,4 |
2) 4 |
3) 3 |
4) 3,4 |
6.10 |
Найти проекцию вектора на вектор, если |
1) 1 |
2) 0 |
3) 2 |
4) 3 |
6.11 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 3 |
2) 2 |
3) 1 |
4) 0 |
6.12 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 29 |
2) 28 |
3) 27 |
4) 26 |
6.13 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 7 |
2) 6 |
3) 5 |
4) 4 |
6.14 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 3 |
2) 2 |
3) 0 |
4) 1 |
6.15 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 4 |
2) 3 |
3) 2 |
4) 1 |
6.16 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 1 |
2) 2 |
3) 3 |
4) 4 |
6.17 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) 17 |
2) 18 |
3) 19 |
4) 20 |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
6.18 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) –55 |
2) –26 |
3) –57 |
4) –58 |
6.19 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) –44 |
2) –45 |
3) –46 |
4) –47 |
6.20 |
Найти скалярное произведение векторов , если |
1) –14 |
2) –15 |
3) –16 |
4) –17 |
6.21 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
6.22 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
6.23 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
6.24 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
6.25 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
6.26 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
6.27 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
6.28 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) 1 |
4) |
6.29 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) 0 |
2) 1 |
3) 2 |
4) 3 |
6.30 |
Чему равен косинус угла между векторами и, если |
1) |
2) |
3) |
4) |
Задание 7. Вычислить работу, произведенную силой по перемещению тела из точки С в точку В.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Исходные данные |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7.1 |
|
1) 3 |
2) 2 |
3) 1 |
4) 5 |
7.2 |
|
1) 1 |
2) 9 |
3) 6 |
4) 0 |
7.3 |
|
1) 20 |
2) 7 |
3) 5 |
4) 8 |
7.4 |
|
1) 11 |
2) 1 |
3) 3 |
4) 2 |
7.5 |
|
1) 5 |
2) 6 |
3) 9 |
4) 0 |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7.6 |
|
1) 1 |
2) 2 |
3) 3 |
4) 4 |
7.7 |
|
1) 3 |
2) 2 |
3) 9 |
4) 1 |
7.8 |
|
1) 0 |
2) 5 |
3) 10 |
4) 1 |
7.9 |
|
1) 1 |
2) 5 |
3) 12 |
4) 2 |
7.10 |
|
1) 1 |
2) 8 |
3) 9 |
4) 10 |
7.11 |
|
1) 11 |
2) 12 |
3) 13 |
4) 14 |
7.12 |
|
1) 6 |
2) 12 |
3) 1 |
4) 5 |
7.13 |
|
1) 7 |
2) 1 |
3) 6 |
4) 0 |
7.14 |
|
1) 7 |
2) 2 |
3) 11 |
4) 12 |
7.15 |
|
1) 18 |
2) 3 |
3) 2 |
4) 5 |
7.16 |
|
1) 7 |
2) 6 |
3) 5 |
4) 4 |
7.17 |
|
1) 0 |
2) 1 |
3) 2 |
4) 3 |
7.18 |
|
1) 6 |
2) 12 |
3) 11 |
4) 13 |
7.19 |
|
1) 7 |
2) 15 |
3) 18 |
4) 19 |
7.20 |
|
1) 0 |
2) 16 |
3) 17 |
4) 15 |
7.21 |
|
1) 8 |
2) 2 |
3)0 |
4) 1 |
7.22 |
|
1) 8 |
2) 32 |
3) 64 |
4) 28 |
7.23 |
|
1) 5 |
2) 1 |
3) 2 |
4) 10 |
7.24 |
|
1) 36 |
2) 24 |
3) 12 |
4) 6 |
7.25 |
|
1) 4 |
2) 10 |
3) 7 |
4) 3 |
7.26 |
|
1) 30 |
2) 9 |
3) 2 |
4) 60 |
7.27 |
|
1) 1 |
2)21 |
3) 30 |
4) 42 |
7.28 |
|
1) 30 |
2) 20 |
3) 1 |
4) 0 |
7.29 |
|
1) 1 |
2) 13 |
3) 5 |
4) 2 |
7.30 |
|
1) 5 |
2) 1 |
3) 0 |
4) 14 |
Рекомендации к решению заданий 5 – 7.
Пример 1. Найти скалярное произведение векторов , если,.
Решение. Применим формулу . Тогда скалярное произведение векторовиравно:
. Ответ: –.
Пример 2. Найти угол, образованный векторами и, если,
Решение.
1-й способ. Из формулы находим скалярное произведение векторов. Угол между векторамиинайдем по формуле. Значит угол между векторамииравен.
2-й способ. Для данных условий угол между векторами инайдем следующим образом:=, отсюдаОтвет: .
Пример 3. Найти проекцию вектора на вектор, если.
Решение. Применим формулу . Найдем скалярное произведение векторови длину вектора. Тогда.
Ответ: – 3.
Пример 4. Вычислить работу, произведенную силой по перемещению тела из точки С в точку В, если
Решение. Работа, произведенная силой по перемещению тела из точки С в точку В, равна скалярному произведению векторов силыи перемещения. Вектор перемещения имеет координаты, или.Тогда работа силы равна. Ответ: 24.
Задание 8. Найти векторное произведение векторов и.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Исходные данные |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8.1 |
|
1) (–2; 3; 0) |
2) (0; 0; 5) |
3)(1; 4; 0) |
4)(1; 1; 4) |
8.2 |
|
1)(–2; 0; 1) |
2)(1; 0; 1) |
3) (0; 5; 0) |
4)(1; 0; –12) |
8.3 |
|
1)(0; 6; –3) |
2) (–9; 0; 0) |
3)(0; 7; 2) |
4)(0; 6; 2) |
8.4 |
|
1) (0; 0; 2) |
2)(4; –6; 0) |
3)(3; 6; 0) |
4)(2; –2; 0) |
8.5 |
|
1)(0; 7; 4) |
2)(0; 12; –4) |
3)(2; 0; 0) |
4) (23; 0; 0) |
8.6 |
|
1)(18; 0; 12) |
2)(11; 0; 7) |
3) (0; 30; 0) |
4)(0; 28; 0) |
8.7 |
|
1) (0;–8; –2) |
2)(5; 1; –4) |
3)(6; 1; 0) |
4)(0; –7; 1) |
8.8 |
|
1) (0; 15; 0) |
2) (20;0;–10) |
3)(2; 8; 4) |
4)(10; 0; –5) |
8.9 |
|
1)(1; 8; –3) |
2)(4; 0; 5) |
3) (6; 0; 2) |
4)(0; 12; 0) |
8.10 |
|
1) (0;–7;–7) |
2)(0; 1; 5) |
3)(7; 0; 0) |
4)(8; –1; 1) |
8.11 |
|
1)(1; 8; 4) |
2)(0; 12; 0) |
3)(–20; 0; 5) |
4) (–24;0;6) |
8.12 |
|
1) (0;0;26) |
2)(–12; 1; 0) |
3)(–4; 7; 0) |
4)(0; 0; 6) |
8.13 |
|
1)(–14; 0; 3) |
2) (0;–13;0) |
3)(5; 0; 4) |
4)(0; –10; 5) |
8.14 |
|
1)(10; 0; 0) |
2)(7; 2; 8) |
3) (0;–16;4) |
4)(0; –17; 5) |
8.15 |
|
1)(3; 12; 4) |
2)(0; 35; 0) |
3)(–10; 0; 5) |
4) (–20;0;15) |
8.16 |
|
1)(–1; 6; 6) |
2) (–8;–5; 6) |
3)(0; 6; 5) |
4)(–4; –1; 5) |
8.17 |
|
1) (–4; 7; –1) |
2)(1; 1; 3) |
3)(–2; 0; –4) |
4)(–2; 4; 5) |
8.18 |
|
1)(0; 8; 4) |
2)(–1; 8; 4) |
3)(10; 4; –6) |
4) (14;4; –2) |
8.19 |
|
1)(–2; –2; 0) |
2) (1; 2; 5) |
3)(1; 1; –1) |
4)(1; 2; 3) |
8.20 |
|
1)(–18; 5; 0) |
2)(3; 6; 0) |
3) (1; 3; –21) |
4)(2; –9; 5) |
8.21 |
|
1)(1; 4; 13) |
2)(–2; 0; 40) |
3) (20;–21;8) |
4)(10; 11; 5) |
8.22 |
|
1)(2; 3; –3) |
2) (–3; 9; 7) |
3)(5; 1; 9) |
4)(–3; 3; –3) |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
8.23 |
|
1)(–4;–7;–2) |
2)(0; –2; 7) |
3)(–1; –2; 1) |
4)(1; 6; 5) |
8.24 |
|
1)(8; 0; –4) |
2)(15; –1; 0) |
3)(–5; 10; 1) |
4) (–4;–12;–8) |
8.25 |
|
1)(0; 7; 7) |
2)(–1; 0; 10) |
3)(10; –5; 5) |
4) (14;–7;7) |
8.26 |
|
1) (32;13;–4) |
2)(0; 0; 40) |
3)(30; 15; 5) |
4)(0; 4; 13) |
8.27 |
|
1)(2; –2; 3) |
2) (–7;–4;2) |
3)(0; –3; 2) |
4)(–5; –3; 5) |
8.28 |
|
1)(–3; 0; 10) |
2)(2; 4; 7) |
3) (–8;11;–4) |
4)(–7; 1; –3) |
8.29 |
|
1)(5; 13; 8) |
2)(4; 40; 8) |
3)(17; 17;17) |
4)(27;–27;27) |
8.30 |
|
1) (8;–33;–10) |
2)(35; 0; –4) |
3)(12; 0; –4) |
4)(8; –30; 5) |
Задание 9. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Исходные данные |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
9.1 |
|
1) 1 |
2) |
3) |
4) |
9.2 |
|
1) |
2) |
3) 1 |
4) |
9.3 |
|
1) 1 |
2) |
3) |
4) |
9.4 |
|
1) 7 |
2) 6 |
3) 5 |
4) 4 |
9.5 |
|
1) 4 |
2) 5 |
3) 6 |
4) 7 |
9.6 |
|
1) 6 |
2) 5 |
3) 4 |
4) 3 |
9.7 |
|
1) |
2) |
3) |
4) 2 |
9.8 |
|
1) |
2) 2 |
3) 1 |
4) |
9.9 |
|
1) 2 |
2) |
3) |
4) |
9.10 |
|
1) |
2) |
3) 2 |
4) |
9.11 |
|
1) |
2) |
3) 2 |
4) |
9.12 |
|
1) |
2) |
3) |
4) |
9.13 |
|
1) |
2) |
3) |
4) |
9.14 |
|
1) |
2) |
3) |
4) 8 |
9.15 |
|
1) 5 |
2) |
3) |
4) |
9.16 |
|
1) 6 |
2) |
3) |
4) 9 |
9.17 |
|
1) |
2) |
3) |
4) |
9.18 |
|
1) |
2) |
3) |
4) |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 | |||
9.19 |
|
1) |
2) |
3) |
4) | |||
9.20 |
|
1) 7 |
2) |
3) |
4) | |||
9.21 |
|
1) |
2) |
3) |
4) | |||
9.22 |
|
1) |
2) |
3) |
4) | |||
9.23 |
|
1) |
2) |
3) |
4) | |||
9.24 |
|
1) |
2) |
3) |
4) | |||
9.25 |
|
1) 2 |
2) |
3) |
4) | |||
9.26 |
|
1) |
2) |
3) |
4) | |||
9.27 |
|
1) |
2) |
3) |
4) | |||
9.28 |
|
1) |
2) |
3) 3 |
4) | |||
9.29 |
|
1) |
2) |
3) |
4) | |||
9.30 |
|
1) 10 |
2) 12 |
3) 14 |
4) 15 |
Задание 10. Ответить на вопрос задания, выбрав один из вариантов ответов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Вопрос задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
10.1 |
Вычислить , если |
1)
6 |
2)
|
3)
12 |
4)
|
10.2 |
Вычислить , если |
1)
15 |
2)
|
3)
30 |
4)
|
10.3 |
Вычислить , если |
1)
|
2)
|
3)
42 |
4)
82 |
10.4 |
Вычислить , если |
1)
|
2)
9 |
3)
|
4)
36 |
10.5 |
Вычислить , если |
1)
6 |
2)
|
3)
|
4)
3 |
10.6 |
Вычислить , если |
1) 0 |
2) 16 |
3) 32 |
4) 12 |
10.7 |
Вычислить , если |
1)
|
2)
21 |
3)
|
4)
|
10.8 |
Вычислить , если |
1)
|
2)
|
3)
21 |
4)
0 |
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
10.9 |
Вычислить , если |
1) 0 |
2) 1 |
3) 22 |
4) 11 |
10.10 |
Вычислить , если |
1)
15 |
2)
28 |
3)
|
4)
|
10.11 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
|
2) |
3)
12 |
4)
1 |
10.12 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1) |
2) |
3)
19 |
4)
1 |
10.13 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1) |
2)
17 |
3) |
4)
1 |
10.14 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1) |
2)
28 |
3)
56 |
4) |
10.15 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
|
2)
15 |
3)
|
4)
|
10.16 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
72 |
2)
0 |
3)
|
4)
|
10.17 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
30 |
2) |
3) |
4)
15 |
10.18 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
42 |
2)
21 |
3) |
4) |
10.19 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1) |
2) |
3)
36 |
4)
0 |
10.20 |
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
35 |
2) |
3) |
4) |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
10.21 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1) |
2) |
3) |
4)
12 |
10.22 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
19 |
2)
|
3) |
4)
9,5 |
10.23 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
8,5 |
2)
34 |
3)
|
4) |
10.24 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1) |
2)
28 |
3) |
4)
14 |
10.25 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
15 |
2) |
3)
|
4)
|
10.26 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
36 |
2)
18 |
3) |
4) |
10.27 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
15 |
2)
|
3)
|
4) |
10.28 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
21 |
2) |
3)
|
4)
|
10.29 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1) |
2)
18 |
3) |
4)
36 |
10.30 |
Найти площадь треугольника, построенного на векторах и, как на сторонах, если |
1)
|
2)
|
3) |
4) |
Задание 11. Ответить на вопрос задания, выбрав один из вариантов ответов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Вопрос задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
11.1 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
|
2)
|
3)
2 |
4)
3 |
11.2 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
4 |
2)
|
3)
|
4)
1 |
11.3 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1) 4 |
2) 3 |
3) 1 |
4) 2 |
11.4 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
|
2)
|
3)
4 |
4)
2 |
11.5 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
11.6 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
|
2)
1 |
3)
|
4)
|
11.7 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
1 |
2)
|
3)
|
4)
|
11.8 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
11.9 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
2 |
2)
|
3)
|
4)
|
11.10 |
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах и , как на сторонах |
1)
5 |
2)
|
3)
|
4)
|
11.11 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1) 2 |
2) 8 |
3) 7 |
4) 6 |
11.12. |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1) 1 |
2) 3 |
3) 2 |
4) 4 |
11.13 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1) 1 |
2) 5 |
3) 3 |
4) 6 |
11.14 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1) 1 |
2) 2 |
3) 3 |
4) 4 |
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
11.15 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1)
|
2)
1 |
3)
|
4)
|
11.16 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
11.17 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1) 4 |
2) 3 |
3) 1 |
4) 2 |
11.18 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1)
|
2)
|
3)
2 |
4)
|
11.19 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1) 1 |
2) 2 |
3) 3 |
4) 4 |
11.20 |
Найти величину момента силы относительно точки , если сила приложена к точке |
1)
1 |
2)
|
3)
|
4)
2 |
11.21 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1)
|
2)
1 |
3)
5 |
4)
|
11.22 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1) 4 |
2) 3 |
3) 2 |
4) 1 |
11.23 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1) 5 |
2) 3 |
3) 4 |
4) 2 |
11.24 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1)
1 |
2)
|
3)
|
4)
|
11.25 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1)
|
2)
|
3)
|
4)
1 |
11.26 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1)
|
2)
|
3)
4 |
4)
|
11.27 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах |
1) 4 |
2) 3 |
3) 5 |
4) 2 |
11.28 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1)
|
2)
|
3)
3 |
4)
1 |
11.29 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1)
|
2)
|
3)
3 |
4)
2 |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
11.30 |
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах |
1)
1 |
2)
2 |
3)
|
4)
|
Задание 12. Найти смешанное произведение векторов.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Исходные данные |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
12.1 |
,, |
1) –25 |
2) –24 |
3) –23 |
4) –22 |
12.2 |
, |
1) 3 |
2) 2 |
3) 5 |
4) 4 |
12.3 |
, , |
1) 5 |
2) 6 |
3) 7 |
4) 8 |
12.4 |
, , |
1) 3 |
2) 4 |
3) 5 |
4) 6 |
12.5 |
, , |
1) 7 |
2) 6 |
3) 5 |
4) 4 |
12.6 |
, , |
1) –6 |
2) –5 |
3) –4 |
4) –3 |
12.7 |
, , |
1) –10 |
2) –11 |
3) –12 |
4) –13 |
12.8 |
, , |
1) –26 |
2) –27 |
3) –28 |
4)–29 |
12.9 |
|
1) –14 |
2)–15 |
3) –16 |
4) –17 |
12.10 |
|
1) 6 |
2) 7 |
3)8 |
4) 9 |
12.11 |
|
1) –4 |
2) –3 |
3) –2 |
4) –1 |
12.12 |
|
1)–3 |
2) –2 |
3) –1 |
4) 1 |
12.13 |
|
1)–2 |
2) –1 |
3) 2 |
4) 3 |
12.14 |
|
1) –7 |
2)–3 |
3) –5 |
4) –4 |
12.15 |
|
1) –2 |
2) –1 |
3)0 |
4) 1 |
12.16 |
|
1) –3 |
2) –4 |
3) –5 |
4) –6 |
12.17 |
|
1) 0 |
2) 1 |
3) 2 |
4) 3 |
12.18 |
|
1)–2 |
2) –1 |
3) 0 |
4) 1 |
12.19 |
|
1) –19 |
2) –18 |
3) –16 |
4) –15 |
12.20 |
|
1) 18 |
2) 17 |
3) 16 |
4) 15 |
12.21 |
|
1)–3 |
2) –2 |
3) –1 |
4) 1 |
12.22 |
|
1) 4 |
2) 3 |
3) 2 |
4) –7 |
12.23 |
|
1) 17 |
2) 16 |
3)15 |
4) 14 |
12.24 |
|
1) 12 |
2)13 |
3) 11 |
4) 14 |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
12.25 |
|
1)–18 |
2) –17 |
3) –16 |
4) –15 |
12.26 |
|
1) 29 |
2) 28 |
3) 27 |
4) 26 |
12.27 |
|
1)0 |
2) 1 |
3) 2 |
4) 3 |
12.28 |
|
1) –6 |
2) –5 |
3) –4 |
4) –3 |
12.29 |
|
1) 5 |
2) 4 |
3) 3 |
4)2 |
12.30 |
|
1) 31 |
2) 32 |
3)33 |
4) 34 |
Задание 13. Выбрать верные утверждения для заданных векторов. (тестовое задание может иметь несколько правильных ответов)
Задание оценивается в 2 балла.
Номер задания |
Исходные данные |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
13.1 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.2 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.3 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.4 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.5 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.6 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
13.7 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.8 |
|
1) некомпла- нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.9 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла- нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.10 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.11 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.12 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.13 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.14 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.15 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.16 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.17 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
13.18 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.19 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.20 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.21 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.22 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.23 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.24 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.25 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.26 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.27 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.28 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
13.29 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
13.30 |
|
1) некомпла-нарные |
2) компла-нарные |
3) тройка векторов , , правая |
4) тройка векторов , , левая |
Задание 14. Найти объем пирамиды АВСD.
Задание оценивается в 1 балл.
Номер задания |
Исходные данные задания |
Варианты ответов | |||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
14.1 |
|
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
14.2 |
|
1) 1 |
2) 3 |
3) 4 |
4) 5 |
14.3 |
|
1)
4 |
2)
5 |
3)
6 |
4)
|
14.4 |
|
1)
|
2)
2 |
3)
3 |
4)
|
14.5 |
|
1) 2 |
2) 3 |
3) 4 |
4) 5 |
14.6 |
|
1) 3 |
2) 4 |
3) 5 |
4) 6 |
14.7 |
|
1) 3 |
2) 2 |
3) 1 |
4) 0 |
14.8 |
|
1) 5 |
2) 4 |
3) 3 |
4) 7 |
14.9 |
|
1)
|
2)
|
3)
|
4)
2 |
14.10 |
|
1)
|
2)
|
3)
3 |
4)
2 |
П р о д о л ж е н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
14.11 |
|
1)
2 |
2)
|
3)
1 |
4)
|
14.12 |
|
1)
|
2)
|
3)
|
4)
1 |
14.13 |
|
1) 3 |
2) 4 |
3) 5 |
4) 6 |
14.14 |
|
1) 2 |
2) 3 |
3) 4 |
4) 5 |
14.15 |
|
1) 4 |
2) 5 |
3) 6 |
4) 7 |
14.16 |
|
1) 7 |
2) 8 |
3) 9 |
4) 10 |
14.17 |
|
1) 3 |
2) 4 |
3) 5 |
4) 6 |
14.18 |
|
1) 4 |
2) 5 |
3) 6 |
4) 7 |
14.19 |
|
1) 7 |
2) 8 |
3) 9 |
4) 10 |
14.20 |
|
1) 2 |
2) 3 |
3) 4 |
4) 5 |
14.21 |
|
1) 3 |
2) 4 |
3) 5 |
4) 6 |
14.22 |
|
1) 8 |
2) 9 |
3) 10 |
4) 11 |
14.23 |
|
1) 9 |
2) 8 |
3) 7 |
4) 6 |
14.24 |
|
1) 8 |
2) 7 |
3) 6 |
4) 5 |
14.25 |
|
1)
1 |
2)
|
3)
|
4)
|
14.26 |
|
1)
1 |
2)
5 |
3)
|
4)
4 |
14.27 |
|
1)
|
2)
4 |
3)
3 |
4)
2 |
О к о н ч а н и е
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
14.28 |
|
1)
2 |
2)
|
3)
|
4)
|
14.29 |
|
1) 6 |
2) 5 |
3) 4 |
4) 3 |
14.30 |
|
1) 10 |
2) 9 |
3) 8 |
4) 7 |
Рекомендации к решению заданий 8 – 14.
Пример 1. Найти векторное произведение векторов и .
Решение. Составим и вычислим определитель:
.
Таким образом, векторное произведение векторов и есть вектор: ==. Ответ: .
Пример 2. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах и .
Решение. Найдем векторное произведение векторов и :
=.
Тогда площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения:
Sпар.
Ответ: .
Пример 3. Вычислить модуль векторного произведения векторов и , если .
Решение. Модуль векторного произведения векторов и равен:
. Ответ: 10.
Пример 4. Найти площадь треугольника, построенного на векторах и , если .
Решение.
. Ответ: .
Пример 5. Найти смешанное произведение векторов .
Решение. Смешанное произведение векторов, заданных координатами, равно:
. Ответ: –64.
Пример 6. Проверить, что векторы , компланарны.
Решение. Найдем смешанное произведение данных векторов:
. Так как смешанное произведение векторов равно 0, значит векторы , , компланарны.
Пример 7. Найти объем пирамиды АВСD с вершинами , , , .
Решение. Найдем векторы, образующие пирамиду:
;
.
Тогда объем пирамиды АВСD равен смешанного произведения этих векторов, взятого по абсолютной величине. Найдем смешанное произведение векторов:
.
Объем пирамиды АВСD равен . Ответ: 17.