1. Элементы векторной алгебры

1.1. Векторы, основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается символом (или,,…).

Модулем (длиной) вектора называется расстояние от начальной точки А до конечной точки В вектора и обозначается,.

Единичным(или ортом) называется вектор, длина которого равна единице.

Нулевым(или нуль-вектором) называется вектор, длина которого равна нулю.

Коллинеарными называются векторы и, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают.

Компланарными называются три вектораи более, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Равными ()называются два коллинеарных вектораи, если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Всякие векторы можно привести к общему началу, т.е. построить векторы, соответственно равные данным и имеющие общее начало. Из определения равенства векторов следует, что любой векторимеет бесконечно много векторов, равных ему.

Углом между векторамииназывается наименьший угол, на который нужно повернуть вектор, чтобы его направление совпало с направлением вектора, при условии, что оба вектора отнесены к общему началу, (рис.1).

Угол между векторами измеряется в пределах . Если угол между векторами(или 90), то векторы называются ортогональными. В случае, когда (или 0), говорят, что вектор сонаправлен с вектором, если же(или 180), то вектор имеет противоположное направление к вектору.

Литература: [ 1, гл. 5, §5.1];[2, гл. 18, § 1, п. 5.6]; [ 3, гл. 2, п. 12.1];[4, гл. 2, § 5].

1.2. Координаты вектора и его длина

Пусть вектор составляет уголс осью .

Проекцией вектора на осьназывается число, равное длине вектора(рис. 2), взятой со знаком плюс, если направление векторасовпадает с направлением оси, и со знаком минус в противном случае.

Проекция вектора на осьвычисляется по формуле

.

Свойства проекций:

1. ; 2..

Декартовыми прямоугольными координатами вектора называются его проекции на соответствующие координатные оси.

Вектор с координатамизаписывают в координатной формеили в виде разложения по базису, где–орты координатных осейсоответственно (илибазисные векторы).

Длина вектора определяется по формуле

.

Литература: [ 1, гл. 5, § 5.4];[2, гл. 18, § 7];[3, гл.2, п. 12.4];[4, гл. 2, § 5, п. 5.3].

1.3. Линейные операции над векторами и их свойства

Суммойдвух векторов иназывается вектор, соединяющий начало векторас концом вектора, при условии, что векторотложен от конца вектора(рис. 3).

Произведением векторана числоназывается вектор, который имеет длинуи коллинеарен вектору. Причем векторыисонаправлены в случаеи имеют противоположные направления, если.

Пример 1.Даны векторы и.Построить вектор.

Пример 2.Векторы иобразуют угол, причем,. Определитьи.

Решение.Суммой векторов иявляется вектор. Заметим, чтоABC = 120. Тогда длину вектора можем найти по теореме косинусов

.

Разностью векторовиявляется вектор. Так какABE = 60, то длина вектора по теореме косинусовравна

.

Литература: [1, гл.5, §5.2];[2, гл. 18, § 2–4]; [3, гл.2, пп. 12.2, 12.3];[4, гл. 2,§ 5, п. 5.2].