Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Кравчук(mathcad) / 2 семестр / MathCAD iнженерних розрахунках. Частина 1. 2002

.pdf
Скачиваний:
110
Добавлен:
29.02.2016
Размер:
4.96 Mб
Скачать

 

 

31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Операція

Позначення

 

 

Опис, зауваження

 

 

 

 

 

Додавання

 

Сумує відповідні елементи А і В.

векторів і

A+B

Зауваження: масиви повинні мати однакове

матриць

 

число рядків і стовпців.

 

 

 

 

 

Векторне і

 

Віднімає відповідні елементи В із А.

матричне

A–B

Зауваження: масиви повинні мати однакове

віднімання

 

число рядків і стовпців.

 

 

 

 

 

 

Скалярна

A+z

Додає число z до кожного елемента А.

сума

 

 

 

 

 

Скалярне

A–z

Віднімає число z від кожного елемента А.

віднімання

 

 

 

 

 

Зміна знаку

– A

Множить всі елементи А на –1.

Степені

 

n-тий степінь квадратної матриці (використовує

 

множення матриць). M 1 – обернена до M матри-

матриці,

Mn

ця, інші від’ємні степені – степені оберненої

обернення

матриць

 

матриці.

 

 

 

 

Зауваження: n – ціле число.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Довжина

 

 

 

n

 

 

2

 

вектора

|v|

Одержуємо

 

vi .

 

 

 

 

i 1

Визначник

|M|

Одержуємо визначник квадратної матриці,

матриці

результат – скаляр.

 

 

 

 

 

 

 

Транспону-

 

Одержуємо

матрицю, рядки якої є стовпчики

вання мат-

AT

матриці А, а стовпчики якої є рядки матриці А.

риць

 

 

 

 

 

 

Сума

v

Складає елементи вектора vi . Повертає скаляр.

елементів

 

 

 

 

 

 

 

 

Верхній

An

Виділяє n–тий стовпчик масиву А. Повертає

індекс

вектор.

 

 

 

Нижній

vn

 

 

 

 

індекс

n–тий елемент вектора v.

вектора

 

 

 

 

 

Нижні

Am,n

Елемент матриці, який знаходиться в m–тому

індекси

рядку та n–тому стовпчику.

матриці

 

 

 

 

 

 

32

Приклад.

6.8. Векторні і матричні функції

Нижче в таблиці наведені функції, які дають інформацію відносно розмірів масиву і діапазону його елементів.

Ім’я функції

Дія функції

 

 

rows(A)

Обчислює кількість рядків матриці А.

 

 

cols(A)

Обчислює кількість стовпців матриці А.

 

 

length(v)

Обчислює кількість елементів вектора v.

 

 

last(v)

Визначає індекс останнього елемента вектора v.

 

 

max(A)

Визначає найбільший елемент матриці А.

 

 

min(A)

Визначає найменший елемент матриці А.

 

 

33

Приклад.

Нижче в таблиці наведені функції, які створюють із існуючого масиву або скаляра матрицю спеціального типу.

 

Ім’я функції

Дія функції

 

identity(n)

Створює n x n одиничну матрицю (матриця, всі діа-

 

 

гональні елементи якої дорівнюють 1, а всі інші

 

 

елементи дорівнюють 0).

 

diag(v)

Створює діагональну матрицю, яка має на головній

 

 

діагоналі елементи вектора v.

Приклад.

 

Нижче в таблиці наведені функції формування нових матриць із існуючих.

Ім’я функції

Дія функції

 

Створює масив, який формується розташуванням

augment(A,B)

А і В бік в бік.

Зауваження: Масиви А і В повинні мати однакове

 

 

число рядків.

 

Створює масив, який формується розташуванням

stack(A,B)

А над В.

Зауваження: Масиви А і В повинні мати однакове

 

 

число стовпців.

 

Створює субматрицю, яка складається з елемен-

 

тів, які знаходяться в рядках з ir по jr і стовпчиках

 

з ic по jc.

submatrix(A,ir,jr,ic,jc)

Зауваження: Для підтримки порядку рядків і (або)

 

стовпців необхідно перевірити, щоб ir jr та ic jc,

 

інакше порядок рядків і (або) стовпців буде обер-

 

нений.

34

Приклад.

35

Нижче наведені в таблиці функції впорядкування елементів вектора або матриці.

Ім’я функції

Дія функції

 

 

sort(v)

Впорядковує вектор v за зростанням елементів.

 

 

csort(A,n)

Впорядковує матрицю А за зростанням елементів її стовпчи-

ка n.

 

 

 

rsort(A,n)

Впорядковує матрицю А за зростанням елементів її рядка n.

 

 

reverse(v)

Обертає порядок елементів вектора v або рядків матриці А

reverse(А)

(нумерує елементи масивів у зворотному порядку).

Для впорядкування елементів масиву (вектора або матриці) за спаданням, спочатку впорядкуйте їх за зростанням, а потім використовуйте функцію reverse.

Приклад. Функції впорядкування.

Впорядкуємо елементи вектора v за зростанням, а потім за спаданням.

Розташувати елементи в стовпчику 2 матриці А в порядку зростання.

Розташувати елементи в рядку 3 матриці А в порядку зростання.

36

Обернути порядок рядків матриці А.

Нижче в таблиці наведені функції, які визначають спеціальні характеристики матриці. Позначення прийняті в таблиці:

A – дійсна матриця.

M – квадратна матриця.

Ім’я функції

 

Дія функції

tr(M)

Обчислює слід матриці (сума елементів головної

діагоналі).

 

 

 

rank (A)

Обчислює ранг матриці A.

norm1(M)

Обчислює L1

– норму матриці M.

norm2(M)

Обчислює L2

– норму матриці M.

norme(M)

Обчислює евклідову норму матриці М.

normi(M)

Обчислює рівномірну норму матриці М.

Зауваження: вбудовані функції обчислення норм матриці використовуються тільки для квадратних матриць.

Приклад.

Норми будь-якої прямокутної матриці A={aij} i 1,m; j 1,n обчислюються за формулами:

37

A

 

 

 

n

 

aij

 

 

;

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

m

 

aij

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

max

 

 

;

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

i 1

 

 

 

 

 

 

i 1,m

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j 1,n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

m

n

 

aij

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 1

j 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад. Обчислити для квадратної матриці M із попереднього прикладу норми матриці за допомогою наведених вище формул.

Таким чином, для квадратної матриці можна зробити висновки, що

Norma1 відповідає рівномірній нормі матриці, обчисленій за допомогою функції normi(M);

Norma2 відповідає нормі матриці, обчисленій за допомогою функції norm1(M);

Norma3 відповідає евклідовій нормі матриці, обчисленій за допомогою функції norme(M).

38

7. Дискретні аргументи

Дискретний аргумент – змінна, яка приймає при кожному її використанні ряд значень, що змінюються з однаковим кроком. Дискретний аргумент використовується для організації циклів, а також для присвоєння значень елементам вектора (матриці).

7.1.Задання і використання дискретного аргументу

Щоб задати дискретний аргумент, який змінюється з кроком 1, необхідно надрукувати:

1.Ім’я дискретного аргументу.

2.Знак присвоєння (натискаємо разом клавіші [Shift]+[;]).

3.Діапазон його зміни:

Друкуємо спочатку перше значення, яке приймає дискретний аргумент.

Натискаємо кнопку на палітрі матричних і векторних операцій або клавішу [;]. MathCAD друкує .. (що означає діапазон) з порожнім полем для введення останнього значення дискретного аргументу.

Друкуємо останнє значення.

Наприклад: j := 0..10. Це означає, що дискретний аргумент j приймає значення 0, 1, 2, 3, … , 10 і змінюється з кроком 1.

Приклад. Визначення елементів вектора, використовуючи дискретний ар-

гумент як нижній індекс.

Якщо надрукувати ”xj =”, то з’явиться таблиця елементів вектора x. Якщо ж надрукувати ”x=”, то вектор х з’явиться в звичайному вигляді.

Зверніть увагу, що в наведеному вище прикладі, дискретний аргумент при використанні його, як нижній індекс, приймав тільки цілі значення та змінювався з кроком 1.

В інших випадках, MathCAD дозволяє використовувати дискретні аргументи зі значеннями в будь-якому діапазоні з будь-яким кроком.

39

Щоб задати дискретний аргумент, який змінюється з будь-яким кроком, необхідно надрукувати:

1.Ім’я дискретного аргументу.

2.Знак присвоєння (натискаємо разом клавіші [Shift]+[;]).

3.Діапазон його зміни:

Друкуємо спочатку перше значення, яке приймає дискретний аргумент. Після нього друкуємо кому [ , ].

Друкуємо друге значення в діапазоні, яке приймає дискретний аргумент. Зверніть увагу, що це не розмір кроку. Розмір кроку визначається, як різниця між другим і першим значеннями дискретного аргументу.

Натискаємо клавішу [;]. MathCAD друкує символ .. з пустим полем для введення останнього значення дискретного аргументу.

Друкуємо останнє значення в діапазоні дискретного аргументу.

Значення дискретного аргументу можуть як збільшуватись, так і зменшуватись. Якщо останнє число в визначенні діапазону не дорівнює цілому числу приростів початкового значення, аргумент все одно не вийде за його межі. Можна використати довільні скалярні вирази для задання діапазону, але вони повинні бути дійсними.

Приклад.

40

Приклад. обчислити значення функції Y(x) x2 cos(ax b), де аргумент

x змінюється від x1 0,5

до x2 3,5

з кроком x 0,5 ; a=3,55; b=-2,8.

7.2.Введення елементів вектора

увигляді таблиці

За допомогою дискретних аргументів можна сформувати таблицю, значеннями якої будуть елементи вектора. Щоб увести числові значення в таблицю необхідно:

1)Визначити дискретний аргумент. При використанні дискретного аргументу як нижнього індексу він може приймати тільки цілочислові значення.

2)Надрукувати ім’я вектора і натиснути клавішу [[ ]. В пусте поле нижнього індексу ввести ім’я дискретного аргументу. Натиснути клавішу [Space]. Надрукуйте знак присвоєння. З’явиться порожнє поле для введення першого значення.

3)Надрукувати значення першого елемента вектора і поставити кому [,]. MathCAD покаже таблицю, з пустим полем для введення значення наступного елемента вектора.

4)Далі вводимо по черзі через кому значення інших елементів вектора .

Приклад. Ввести значення елементів x={ 1,5; 6,7; 8,9; 13 } у вигляді таблиці.