3. Начальные и центральные моменты вариационного ряда.

Обобщающими характеристиками вариационных рядов являются начальные и центральные эмпирические моменты распределения разных порядков. Рассмотренные выше числовые характеристики (средние арифметические и дисперсия вариационного ряда) являются частными случаями моментов вариационного ряда.

Определение. Начальным эмпирическим моментом ого порядка называется среднее взвешенное значение вариант в степени , т.е.

или

Из этой формулы следует, что средняя арифметическая является начальным моментом первого порядка, т.е.

Дисперсию признака можно выразить через начальные моменты первого и второго порядков следующим образом

Определение. Центральным эмпирическим моментом ого порядка называется среднее взвешенное ых степеней отклонений вариант признака от средней признака

или.

С помощью моментов распределения можно описать не только среднюю тенденцию, рассеяние, но и другие особенно­сти вариации признака.

Очевидно, что централь­ный момент первого порядка для любого распределения равен нулю,

а второго порядка является дисперсией вариационного ряда

.

Определение. Коэффициентом асимметрии вариационного ряда называется число, определяемое по формуле

.

Если варианты вариационного ряда симметрично размещены относительно , то. Прив вариационном ряде преобладают варианты(отрицательная или левосторонняя асимметрия). Прив вариационном ряде преобладают варианты(положительная или правосторонняя асимметрия)

Определение. Эксцессом вариационного ряда называется число, определяемое по формуле

.

Коэффициент эксцесса является показателем крутизны графика данного распределения по сравнению с графиком нормального распределения. Эксцесс нормально распределенной случайной величины равен нулю.

129