Эмпирическая функция распределения

Важным понятием является понятие эмпирической функции распределения.

Определение. Эмпирической функцией распределения (или функцией распреде­ления выборки) называется функция , которая для каждого значенияколичественного признакаопределяет относительную частоту события, т.е.

.

Таким образом, эмпирическая функция распределения определяет для каж­дого значения долю из наблюдений, меньших .

Свойства эмпирической функцией распределения .

1) Эмпирическая функция распределения определена при любом

2) Областью изменения эмпирической функции распределения является промежуток

.

3) Эмпирическая функция распределения признакаравна нулю левее наименьшего наблюденного значения признака

, где , наименьшая варианта вариационного ряда.

4) Эмпирическая функция распределения признакаравнаединице правее наибольшего наблюденного значения признака

, где , наибольшая варианта вариационного ряда.

5) Эмпирическая функция распределения является неубывающей функцией.

Графиком эмпирической функции распределения признакаявляется разрывная ступенчатая фигура, непрерывная слева, равная нулю левее наименьшего наблюденного значения признакаи равная единице правее наибольшего наблюденного значения. В точках возможных значенийграфик эмпирической функции распределенияимеет разрывы первого рода, величина скачка в этих точках равна относительной частотесоответствующего значения.

Таким образом, график накопленных частот имеет вид ступен­чатой «лестницы» (от 0 до 1). Эмпирическая функция распределения признака является аналогом интегральной функции распределения случайной величины.На практике эмпирическая функция рас­пределения используются для приближения теоре­тической функции распределения.

Пример. Анализируется выборка из 100 малых предпри­ятий региона с целью определения коэффициента соотношения заемных и собственных средств () на каждом-мпредприятии. Результаты представлены в таблице 6.

Таблица 6.

Коэффициенты соотношений заемных и собственных средств предприятий

5,56	5,45	5,48	5,45	5,39	5,37	5,46	5,59	5,61	5,31
5,46	5,61	5,11	5,41	5.31	5,57	5,33	5,11	5,54	5,43
5,34	5,53	5,46	5,41	5,48	5,39	5,11	5,42	5,48	5,49
5,36	5,40	5,45	5,49	5,68	5,51	5,50	5,68	5,21	5,38
5,58	5,47	5,46	5,19	5,60	5,63	5,48	5,27	5,22	5,37
5,33	5,49	5,50	5,54	5,40	5.58	5,42	5,29	5,05	5,79
5,79	5,65	5,70	5,71	5,85	5,44	5,47	5,48	5,47	5,55
5,67	5,71	5,73	5,05	5,35	5,72	5,49	5,61	5,57	5,69
5,54	5,39	5,32	5,21	5,73	5,59	5,38	5,25	5,26	5,81
5,27	5,64	5,20	5,23	5,33	5,37	5,24	5,55	5,60	5,51

Требуется 1. провести ранжирование и группировку заданной статистической совокупности,

2. построить гистограмму и кумуляту полученного интервального вариационного ряда,

3. найти эмпирическую функцию распределенияи построить ее график.

Решение. 1. Проведем ранжирование заданной статистической совокупности, т.е. расположим значения вариант в порядке неубывания от до.

Для того чтобы провести группировку заданной статистической совокупности, разобьем весь диапазон , пользуясь формулойСтерджеса

1 + 3,322.

на равных интервалов:

1 + 3,322=.

Отсюда количество интервалов , а длина каждого интервала равна

Построим сгруппированный ряд наблюдений (таблица 7).

Таблица 7