UP_poTOEch_2

где - абсолютная магнитная проницаемость вакуума;μ = (1

+ J/H) = (1 + χ) – относительная магнитная проницаемость вещества; μа – абсолютная магнитная проницаемость вещества магнитопровода; χ = J/H – намагниченность вещества.

Связь между напряжением и током в катушке индуктивности, намотанной на ферромагнитном сердечнике и магнитной индукцией и напряженностью магнитного поля в ферромагнитном сердечнике устанавливается на основании

- закона полного тока, который для скалярных величин имеет вид I w H . Здесь потокосцепление ψ пропорционально произведению числа витков на магнитный поток в ферромагнитном сердечнике ψ = w Ф(t) = w S B(t), а магнитодвижущая сила (F), равная произведению силы тока в катушке на ее число витков (w) - пропорциональна произведению напряженности магнитного поля (H) на длину магнитопровода .

Магнитная индукция – B характеризует силовое действие магнитного поля на проводник с током, измеряется в системе СИ в – «Теслах» (Тл). Внесистемная единица измерения – «Гаусс»:

[B] = Т (Тл) = 104 Гс, иначе [B] = Т (Тл) = Вб/м, так как В =Ф/S.

Одна Тесла , это индукция равномерного магнитного поля, в котором магнитный поток, через площадь поперечного сечения магнитопровода в 1м2, перпендикулярную направлению магнитного поля, равен одному Веберу.

Магнитный поток – Ф, равный одному Веберу, это поток, который, при убывании до нуля за одну секунду, возбуждает в сцепленном с ним контуром э.д.с. самоиндукции величиной в один вольт.

Размерность магнитного потока в системе СИ вытекает из закона электромагнитной индукции

1

dФ we(t)dt Вб В с 108 Мкс,

где Максвелл (Мкс) - внесистемная единица измерения.

Напряженность магнитного поля – H, в системе СИ измеряется в А/м, внесистемная единица измерения – Эрстед.

Напряженность магнитного поля в 1 А/м, это напряженность, возбуждаемая током, силой 12,566 А (4π), проходящим по прямому бесконечно длинному проводнику, на расстоянии 2 метра от его оси:

[H] = 1 А/м = 4π 10-3 Эрстед.

Намагниченность вещества (J) – характеризует состояние вещества при намагничивании. Имеет ту же размерность, что и напряженность поля - Н. Намагниченность вещества обусловлена наличием у него спонтанно (самопроизвольно) намагниченных областей, которые под воздействием

11

внешнего магнитного поля ориентируются (в разной степени) вдоль силовых линий внешнего магнитного поля.

Абсолютная магнитная проницаемость магнитопровода зависит от строения и магнитного состояния вещества. При изменении напряженности магнитного поля она изменяется в соответствии с нелинейной кривой намагничивания

Рисунок 1. Кривая намагничивания

Размерность абсолютной магнитной проницаемости определяется из отношения магнитной индукции к напряженности магнитного поля:

В общем случае зависимость B от H для ферромагнитных материалов не имеет точного аналитического описания, поэтому для каждого материала она изображается графически:

Рисунок 2. Петля гистерезиса

Здесь: 1 - основная кривая намагничивания, 2 - основная кривая размагничивания; ± BR – остаточная магнитная индукция, ± HС – коэрцитивная (задерживающая) сила.

Между величинами, характеризующими магнитные и электрические цепи постоянного тока существует формальная аналогия, позволяющая для магнитных цепей ввести ряд понятий аналогичных тем, которые используются при расчете электрических цепей постоянного тока.

12

Рисунок 3.Катушка индуктивности на замкнутом магнитопроводе (а) и ее схема замещения (б)

1.В электрических цепях протекают токи, а в магнитных цепях – магнитные потоки т.е. можно утверждать, что между магнитным потоком и электрическим током существует формальная аналогия Ф ~ I.

2.В электрических цепях токи протекают под воздействием источников э.д.с. (E), а в магнитных цепях – магнитные потоки (Ф) возбуждаются

магнитодвижущими силами (м.д.с.) - F I w H ,т.е. можно утверждать,

что F ~ E.

3. В электрических цепях токи ограничиваются сопротивлениями. По аналогии в магнитных цепях можно ввести понятие магнитного сопротивления:

магнитопровода; γ и μа– соответственно, удельная электропроводность и абсолютная магнитная проницаемость, характеризующие свойства различных сред.

Размерность магнитного сопротивления сердечника:

Реальный магнитный поток состоит из основного потока, замыкающегося через ферромагнитный сердечник и потока рассеяния. Если сердечник замкнут, то потоки рассеяния весьма малы (Фσ ≈ 0,01Фном) и ими, как правило, пренебрегают.

Рассмотрим замкнутую магнитную цепь, представленную на рис.3.

Если принять, что S1 > S2, 1 < 2, а Ф0 = const в любом сечении сердечника, то магнитные индукции или плотности магнитного потока в каждом сечении

13

магнитопровода будут пропорциональны потоку Ф0 и обратно пропорциональны сечениям сердечника: B1 = Ф0/S1 и B2 = Ф0/S2 . Тогда напряженности магнитного поля на отдельных участках найдем как:

На основании закона полного тока, м.д.с. воздействующая на магнитную цепь должна уравновешиваться суммой магнитных падений напряжений:

FH d H1 1 H2 2 .

Вто же время, падения напряжений на отдельных участках магнитопровода можно найти из схемы замещения (рис.3.б), как произведения магнитного потока на магнитные сопротивления отдельных участков:

Следовательно, падения напряжения на отдельных участках магнитопровода можно определять двояко, как произведения магнитного потока на магнитные сопротивления отдельных участков Ф0 R 1 Ф0 R 2 или как произведения

напряженностей магнитного поля на отдельных участках магнитопровода на длины отдельных участков:

H1 1 H2 2 .

Тогда закон Ома для магнитной цепи можно записать следующим образом:

Из курса физики известно, что магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность должен быть равен нулю (рис. 4), следовательно, для

Рисунок 4. Узел магнитной цепи

узлов магнитной цепи должно быть справедливо следующее выражение:

Последнее выражение представляет собой первый закон Кирхгофа для магнитной цепи: «Алгебраическая сумма магнитных потоков сходящихся в узле магнитной цепи должна быть равна нулю».

Используя закон полного тока, можно для разветвленной магнитной цепи получить уравнение выражающее второй закон Кирхгофа:

n

Фk R k Ф1 R 1 Ф2 R 2 ... Фn R n .

k 1

Правило. «Алгебраическая сумма м.д.с. действующих в замкнутом контуре магнитной цепи, должна уравновешиваться алгебраической суммой магнитных падений напряжений на участках магнитопровода в том же контуре».

При расчете магнитных цепей приходится решать два типа задач.

В одних - по заданному магнитному потоку Ф0 требуется определить ток намагничивания «I» и м.д.с. F = I w, а в других типах задач - по заданной м.д.с. F или току намагничивания «I» требуется определить магнитный поток Ф0 .

Задачи первого типа получили название задач «прямого решения». Они решаются графо-аналитическими методами, а задачи второго типа получили название «обратных» задач. Из-за нелинейной связи между магнитным потоком Ф0 и током намагничивания «I», обусловленной насыщением магнитопровода, такие задачи не имеют графо-аналитического решения. Как правило, они решаются методами последовательного приближения, т.е. итерационными методами.

Приведенные в учебном пособии задачи по расчету магнитных цепей постоянного тока относятся к задачам имеющим «прямое решение». Здесь как минимум один из стержней магнитопровода содержит воздушный зазор, который обеспечивает для него практически линейный режим работы, а остальные стержни магнитопровода выполнены из однородного материала и имеют (на всем своем протяжении) одинаковое сечение.

15

3. ТЕОРИЯ ПО РАСЧЕТУ ЦЕПЕЙ ПРИ НЕСИНУСОИДАЛЬНЫХ ТОКАХ НАПРЯЖЕНИЯХ И Э.Д.С.

Во всех задачах, где приходится иметь дело со сложными несинусоидальными кривыми токов и напряжений, очень важно уметь свести сложную задачу к более простой и применить методы расчета более простых задач. В настоящей главе рассматриваются методы расчета линейных цепей при несинусоидальных периодических или почти периодических токах и напряжениях, которые можно разложить на гармонические составляющие.

Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд.

Явления, происходящие в линейных цепях, при периодических, но несинусоидальных э. д. с, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривую э. д. с, напряжения или тока разложить в тригонометрический ряд Эйлера — Фурье.

Рисунок 3.1 Пример разложения и синтеза несинусоидальной кривой при наличии первой и третьей гармоники с разными начальными фазами

Как известно, всякая периодическая функция f(ωt), удовлетворяющая условиям Дирихле, т. е. имеющая на всяком конечном интервале конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд Эйлера - Фурье:

(5)

Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих или, короче, гармоник записывается и в иной форме:

(6)

Здесь Bkm = Аkm cosψk, Ckm = Аkm sinψk. Коэффициенты Aо, Bkm и Ckm могут быть вычислены при помощи следующих интегралов:

(7)

Постоянная составляющая Aо равна среднему значению функции f (t) за ее период Т = 2π/ω.

Зная коэффициенты ряда (7), легко перейти к форме (6), подсчитывая

Вводя условно отрицательные частоты, т. е. переходя к суммированию по k от — оо до + оо, можно ряду (6) придать более компактный вид (где по существу каждая гармоника, кроме нулевой, входит под знак суммы дважды):

Постоянная составляющая в этом выражении получается при k = 0, что соответствует выражению (7), так как Aо = С0m/2.

Значительное число непериодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике (рис.3.2) удовлетворяет условию

в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей:

17

При выпрямлении переменного тока или напряжения часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рис.3.2)

Такие функции называют симметричными относительно оси ординат. В этом случае ряд не содержит синусоидальных гармоник

Рисунок 3.2 Основные виды симметрии кривых В схемах умножения частоты встречаются напряжения, которые при

выборе начала координат в точке нуля функции удовлетворяют условию:

косинусов и постоянной составляющей:

18

При оценке несинусоидальных периодических кривых в электроэнергетике, где кривые преимущественно симметричны относительно оси абсцисс, пользуются коэффициентом формы кривой кф, коэффициентом амплитуды ka, коэффициентом искажения kи.

Коэффициент формы определяется как отношение действующего напряжения (тока) к среднему по модулю значению:

определяется как отношению максимального к действующему значению:

ka Am A.

Для синусоиды kа 2 1,41.

Коэффициент искажения определяется как отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей кривой:

kи A1A.

Для синусоиды ки = 1

В информационной и энергетической электронике для оценки искажений используется коэффициент гармоник, который определяется как отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники:

При отсутствии постоянной составляющей

Для синусоиды k = 0.

19

ЗАДАНИЕ 1. РАСЧЕТ ТРЕХФАЗНЫХ ЦЕПЕЙ

Для электрической схемы, соответствующему номеру варианта и данным, приведенным в таблице 1.1, необходимо выполнить следующее:

1. Определить величины и направления комплексов токов во всех ветвях для четырех режимов:

симметричной нагрузке;

несимметричной нагрузке;

короткого замыкания сопротивления фазы A=Za при симметричной нагрузке;

обрыва цепи сопротивления Za при несимметричной нагрузке.

2.По найденным комплексам токов и падениям напряжений найти мгновенное значение этих величин и построить временные диаграммы.

3.Расчетные схемы электрических цепей необходимо приводить к виду “звезда-звезда”. После чего, просто найти напряжение смещения нейтрали, а затем, используя метод двух узлов, найти токи во всех ветвях.

4.Найти активную, реактивную и полную мощность системы и составить, используя их, уравнения баланса мощностей для всех режимов.

5.Построить треугольник мощностей для одной фазы при симметричной нагрузке, для всех фаз при несимметричной нагрузке и в аварийных режимах.

6.Построить векторные диаграммы токов и напряжений для симметричного, несимметричного и аварийных режимов.