Zadanie_1_matn
.docxЗадание 1. По имеющимся данным требуется:
-
Построить статистический ряд распределения. изобразить получившийся ряд графически с помощью полигона или гистограммы. Найти функцию распределения, построить ее график.
-
Найти: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение выборки, моду и медиану.
-
Проверить при уровне значимости гипотезу о соответствии имеющего статистического распределения нормальному закону.
-
Считая данные нормально распределенной случайной величиной найти:
а) точечную оценку математического ожидания изучаемой совокупности;
б) доверительный интервал для математического ожидания с доверительной вероятностью 0.95.
Имеются данные о прибыли коммерческих банков региона, млн. руб.:
7.9 |
13.7 |
36.8 |
5.3 |
38.1 |
25.6 |
12.5 |
23.9 |
19.1 |
7.3 |
25.1 |
15.4 |
2.0 |
22.1 |
40.3 |
18.0 |
37.5 |
34.0 |
9.7 |
20.3 |
23.5 |
13.4 |
26.7 |
0.2 |
28.5 |
0.1 |
37.6 |
27.2 |
34.4 |
13.6 |
27.6 |
33.5 |
49.3 |
45.2 |
16.8 |
25.3 |
35.4 |
25.3 |
31.7 |
5.1 |
1. Для полученной выборочной совокупности объемом n=40
а). Производим ранжирование выборочных данных.
0.1 |
0.2 |
2.0 |
5.1 |
5.3 |
7.3 |
7.9 |
9.7 |
12.5 |
13.4 |
13.6 |
13.7 |
15.4 |
16.8 |
18.0 |
19.1 |
20.3 |
22.1 |
23.5 |
23.9 |
25.1 |
25.3 |
25.3 |
25.6 |
26.7 |
27.2 |
27.6 |
28.5 |
31.7 |
33.5 |
34.0 |
34.4 |
35.4 |
36.8 |
37.5 |
37.6 |
38.1 |
40.3 |
45.2 |
49.3 |
б) Определяем минимальное и максимальное значение признака.
млн. руб. млн. руб.
в) Находим размах варьирования признака
млн. руб.
г) Определяем число групп, на которые разбиваем выборочную совокупность (округление проводим до ближайшего целого)
k=6.
д) Определяем длину интервала по формуле
е) Определяем границы интервалов и группируем данные по соответствующим интервалам.
№ интервала |
Границы интервала |
Частота |
Накопленная частота |
0 |
1 |
3 |
4 |
1 |
0.1-8.3 |
7 |
7 |
2 |
8.3-16.5 |
6 |
13 |
3 |
16.5-24.7 |
7 |
20 |
4 |
24.7-32.9 |
9 |
29 |
5 |
32.9-41.1 |
10 |
39 |
41.1-49.3 |
1 |
40 |
|
|
40 |
|
ж) На основе полученных данных строим статистический ряд распределения и его геометрические представления.
№ Интер вала |
Интервалы - |
Частости |
Накопленныечастости |
Относительная плотность распределения |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
1 |
0.1-8.3 |
4.2 |
0.175 |
0.175 |
0.021 |
2 |
8.3-16.5 |
12.4 |
0.15 |
0.325 |
0.018 |
3 |
16.5-24.7 |
20.6 |
0.175 |
0.5 |
0.021 |
4 |
24.7-32.9 |
28.8 |
0.225 |
0.725 |
0.027 |
5 |
32.9-41.1 |
37 |
0.25 |
0.975 |
0.03 |
41.1-49.3 |
45.2 |
0.025 |
1 |
0.003 |
|
__ |
__ |
1 |
__ |
__ |
Гистограмма и полигон распределения
Кумулята распределения
2. Найдем выборочную среднюю, выборочную дисперсию, среднее квадратическое отклонение выборки, моду и медиану.
а) Вначале находим выборочное среднее, характеризующее центр распределения, около которого группируются выборочные данные, как взвешенное среднее
млн. руб.
№ п./п. |
||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
4.2 |
0.175 |
-18.86 |
0.735 |
-3.3 |
62.247 |
2 |
12.4 |
0.15 |
-10.66 |
1.86 |
-1.599 |
17.045 |
3 |
20.6 |
0.175 |
-2.46 |
3.605 |
-0.43 |
1.059 |
4 |
28.8 |
0.225 |
5.74 |
6.48 |
1.292 |
7.413 |
5 |
37 |
0.25 |
13.94 |
9.25 |
3.485 |
48.58 |
45.2 |
0.025 |
22.14 |
1.13 |
0,554 |
12.254 |
|
|
1 |
|
23.078 |
0.002 |
148.598 |
Дисперсия выборочного распределения:
Среднее квадратическое отклонение .
В данном распределении модальным является интервал (32.9-41.1), так как ему соответствует наибольшая частота (). Значение моды определим по формуле:
Место медианы , поэтому медианным является интервал (24.8-32.9), так как в этом интервале находятся номера 20 и 21. Вычислим медиану:
3. Проверим гипотезу о соответствии имеющего статистического распределения нормальному закону. Число наблюдений в крайних интервалах меньше 5, поэтому объединяем их с соседними. Получим:
Интервал |
0.1-8.3 |
8.3-16.5 |
16.5-24.7 |
24.7-32.9 |
32.9-49.3 |
Частота , |
7 |
6 |
7 |
9 |
11 |
Оценки параметров распределения вычислим по выборке:
;
,
где , , .
Плотность распределения вероятностей теоретического распределения на каждом интервале рассчитывается по формуле .
Расчеты выполним в табличной форме:
№ п./п. |
Интервалы - |
||||||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
1 |
0.1-8.3 |
0.175 |
-1.21 |
-0.5 |
-0.3869 |
0.1131 |
4.524 |
10.831 |
|
2 |
8.3-16.5 |
0.15 |
-1.21 |
-0.54 |
-0.3869 |
-0.2054 |
0.1815 |
7.26 |
4.958 |
3 |
16.5-24.7 |
0.175 |
-0.54 |
0.13 |
-0.2054 |
0.0517 |
0.2571 |
10.284 |
4.764 |
4 |
24.7-32.9 |
0.225 |
0.13 |
0.82 |
0.0517 |
0.2939 |
0.2422 |
9.688 |
8.361 |
5 |
32.9-49.3 |
0.275 |
0.82 |
0.2939 |
0.5 |
0.2061 |
8.244 |
14.677 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
40 |
43.59 |
Вычисляем наблюдаемое значение критерия :
.
Число степеней свободы по выборке равно , где число интервалов, число параметров распределения, в нашем случае:
.
При уровне значимости и по таблице распределения находим . Так как , то нет оснований отвергнуть выдвинутую гипотезу.
4. Точечная оценка математического ожидания найдена при проверке гипотезы о соответствии распределения нормальному закону: (метод моментов).
Доверительный интервал для математического ожидания при известной дисперсии определяется из неравенства:
,
где определяется из уравнения .
Учитывая, что , получаем . По таблице находим . Тогда . Доверительный интервал для математического ожидания будет:
, то есть