5.2. Примеры решения задач

Задача 1.Достроить плоский четырехугольник (рис.5.4).

Дано: Решение:

Рис.5.4

Решение задачи сводится к построению недостающей проекции точки D, принадлежащей плоскости, заданной точками А,В,C. Зададим эту плоскость треугольником АВC, для чего соединим точки В иCпрямой линией на обеих проекциях. Проведем фронтальную проекцию диагонали четырехугольника А₂D₂. Затем достроим вторую ее проекцию, для чего из точки пересечения фронтальных проекций диагоналей (точка О₂) опустим линию проекционной связи на прямуюD₁C₁. Прямая А₁О₁задаст направление диагонали четырехугольника на горизонтальной проекции. Пересекаем Прямую А₁О₁с соответствующей линией связи (изD₂), получаем искомую проекцию точки С. Точка С принадлежит плоскости треугольника АВС, т.к. принадлежит прямой АО, лежащей в этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости треугольника АВС, т.к. имеет с ней две общие точки (А и О). Следовательно, достроенный четырехугольник – плоский.

Задача 2.Достроить точку А, если она принадлежит плоскостиВСD(рис.5.5). Дано: Решение:

Рис.5.5

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Через известную проекцию точки А - точку А₁- проводим произвольную прямую. Строим вторую проекцию введенной прямой, которая должна лежать в заданной плоскости. Для этого фиксируем точки пересечения 1₂и 2₂со сторонами треугольника В₂D₂иC₂D₂. Отыскиваем горизонтальные проекции точек 1 и 2 на соответствующих сторонах горизонтальной проекции треугольника ВСD. Строим горизонтальную проекцию прямой 12 (1₁2₁), пересечение которой с линией связи из точки А₂, определит искомую проекцию точки А.

Задача 3.Через заданную точку Е с помощью главных линий построить плоскость(hf) параллельно заданной плоскости(a||b). Построенную плоскость задать параллельными прямыми (рис.5.6).

Дано:

Решение:

Рис.5.6

Построим вначале главные линии плоскости . Построение главных линий начинают с проведения тех проекции, направление которых всегда известно (у горизонтали - это ее фронтальная проекцияh'₂||OX; у фронтали - ее горизонтальная проекцияf''₁||OX). На рис. 5.6 главные линии плоскости проведены через точку А, произвольно выбранной в плоскости. Проведя затем через точкуEпараллельные прямые (h'₂||h₂иf''₁||f'₁), най­дем искомую плоскость(hf) ||(a||b). Для того, чтобы перезадать плоскость(hf) параллельными прямыми, достаточно через любую точку плоскости, например, через выбранную произвольно точку К, провести прямуюm, параллельно любой прямой, лежащей в этой плоскости (в данном примереm||f, при этомm₁||f₁иm₂||f₂). Плоскостьтеперь задана параллельными прямымиm||f.

Задача 4.Построить линию пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения(ab) и фронтально-проецирующей плоскости(₂)(рис.5.7).

Дано: Решение:

Рис.5.7

Линия пересече­ния двух плоскостей в данном случае определяется двумя точками пересече­ния следа фронтально-проецирующей плоскости ₂с двумя прямыми а и с в пло­скости. При этом прямая с(с₁,с₂) - дополнительная, проведенная произ­вольно в плоскости, но так, чтобы точка К линии пересече­ния получилась в поле заданного чертежа. Точки К иLявляются общими для двух заданный плоскостей, а , следовательно, и определяют искомую линию пересечения: (КL)=(ab)(₂).

Задача 5. Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения:(АВС) и(а||b)(рис.5.8).

Дано:

Решение:

Рис. 5.8

При решении этой задачи используется метод секущих плоскостей. Так как две плоскости пересекаются по прямой линии, определяемой двумя точками, для построения необходимо ввести две дополнительные секущие плоскости. Порядок решения задачи:

1. Вводим дополнительную секущую плоскость (₂). В качестве секущей плоскости выбрана фронтально-проецирующая плоскость, заданная своим следом на фронтальной плоскости проекций. (В качестве секущей плоскости может быть выбрана произвольная проецирующая плоскость).

2. Строим линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости (₂) с плоскостью общего положения(АВС) (см.пример 4): 12(1₁2₁;1₂2₁)=(₂)(АВС).

3. Строим линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости (₂) с плоскостью общего положения(а||b): 34(3₁4₁;3₂4₂)=(₂)(а||b).

4. Строим точку М как точку пересечения прямых 12 и 34: М₁=1₁2₁ 3₁4₁Вторая проекция точки М точка М₂, отыскивается на следе вспомогательной секущей плоскости(₂) с помощью лини проекционной связи. Точка М является искомой точкой, поскольку принадлежит одновременно трем плоскостям: вспомогательной(₂) и заданных(АВС) и(а||b), и , следовательно, является точкой, принадлежащей линии пересечения двух исходных плоскостей.

5. Аналогично строится вторая точка, принадлежащая линии пересечения N. Для этого вводится еще одна вспомогательная секущая плоскость(₂). Плоскость(₂) также является фронтально-проецирующей плоскостью, кроме того, параллельной плоскости(₂). Это является необязательным, поскольку вспомогательные плоскости могут быть выбраны совершенно произвольно.

6. После построения точки Nпроводим прямуюMN, которая является искомой линией пересечения двух исходных плоскостей.

Задача 6.Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения(АВС) и(DEF) (рис.5.9).

Дано:

Рис.5.9

Решение:

Рис. 5.9 (продолжение)

Задача решается аналогично предыдущей. Для уменьшения количества вспомогательных построений в качестве секущих введены плоскости (₂) и(₂) через прямые, принадлежащие одной из плоскостей (DEи DF), следы секущий плоскостей совпадают соответствующими проекциями этих прямых.