- •Оглавление
- •Введение
- •1. Теория функций комплексного переменного
- •Комплексные числа и операции над ними
- •1.1.1. Определение комплексного числа
- •1.1.2. Формы записи комплексных чисел
- •1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа
- •1.2. Функции комплексного переменного
- •1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного
- •1.3.1. Определение производной
- •1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции комплексного переменного
- •1.3.3. Производные основных элементарных функций
- •1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной действительной или мнимой части
- •Интегрирование функций комплексного переменного
- •1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного
- •1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций
- •2. Теория рядов
- •2.1. Числовые ряды
- •2.1.1.Основные понятия Пусть дана последовательность чисел (вещественных или комплексных)
- •Свойства сходящихся рядов
- •Замечание. Условие является необходимым, но не достаточным для сходимости, т.Е. Если , то ряд может сходиться, а может и расходиться.
- •Т. Е. Сходимость ряда равносильна тому, что сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно большим номером, должна быть произвольно мала.
- •2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов
- •Пусть даны два положительных ряда и .
- •2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами
- •2.2. Функциональные ряды
- •2.2.1. Сходимость функционального ряда
- •Функциональные свойства суммы сходящегося ряда
- •2.2.2. Степенные ряды
- •Область сходимости степенных рядов
- •Ряды Тейлора и Маклорена
- •2.3. Ряды Фурье
- •2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
- •2.3.2. Сходимость ряда Фурье
- •Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода 2l
- •2.3.3. Интеграл Фурье
- •3. Теория вероятностей
- •Случайные события и их вероятности
- •Классификация событий
- •3.1.2. Операции над событиями
- •3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности
- •Примеры вероятностных пространств
- •Конечное вероятностное пространство
- •2. Непрерывное вероятностное пространство
- •3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса
- •3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли
- •3.1.7. Статистическое определение вероятности
- •3.2. Случайные величины, их распределения и числовые
- •3.2.1.Дискретные случайные величины
- •3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения
- •3.2.3. Математическое ожидание случайной величины
- •3.2.4. Дисперсия случайной величины
- •3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин Дискретные случайные величины
- •1. Биномиальное распределение
- •2. Распределение Пуассона
- •3. Геометрическое распределение
- •4. Гипергеометрическое распределение
- •Непрерывные случайные величины
- •5. Равномерное распределение
- •6. Показательное распределение
- •7. Нормальное распределение
- •3.3. Системы случайных величин
- •3.3.1. Закон распределения системы случайных величин
- •Условный закон распределения
- •3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора
- •3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей
- •4. Математическая статистика
- •4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений
- •4.1.1. Статистическое распределение выборки
- •4.1.2. Эмпирическая функция распределения
- •4.2. Оценки параметров распределения
- •4.2.1.Точечные оценки параметров распределения
- •4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения
- •4.3. Проверка статистических гипотез
- •4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной зависимости (между двумя случайными величинами)
- •5. Контрольная работа № 7. Задания
- •5.1. Пример выполнения контрольной работы № 1. Вариант 0.
- •5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7
- •6. Контрольная работа № 8. Задания
- •6.1. Пример выполнения контрольной работы № 2. Вариант № 0.
- •6.2. Варианты заданий контрольной работы № 8
Оглавление
Введение………………………………………………………………………….…..5
1. Теория функций комплексного переменного ………………………………......6
1.1. Комплексные числа и операции над ними..…………………………………...6
1.1.1. Определение комплексного числа ……………………………………..6
1.1.2. Формы записи комплексных чисел ………………………………….......8
1.1.3. Формула Муавра и извлечение корня n-ой степени из комплексного числа ………………………….…………………………………………....9
1.2. Функции комплексного переменного………………………………………...10
1.3. Дифференцирование функций комплексного переменного………………...14
1.3.1. Определение производной ………………………………………………14
1.3.2. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости
функции комплексного переменного..………………………………….14
1.3.3. Производные основных элементарных функций………………………15
1.3.4. Восстановление аналитической функции по известной
действительной или мнимой части……………………………………..16
1.4. Интегрирование функций комплексного переменного……………………..17
1.4.1. Определение интеграла от функции комплексного переменного…….17
1.4.2. Теорема Коши. Вычисление интегралов от аналитических функций..20
2. Теория рядов …………………………………………………………………….23
2.1. Числовые ряды ………………………………………………………………...23
2.1.1. Основные понятия………………………………………………………..23
2.1.2. Достаточные признаки сходимости положительных рядов…………...26
2.1.3. Сходимость рядов с произвольными членами……………………..…..30
2.2. Функциональные ряды………………………………………………………...31
2.2.1. Сходимость функционального ряда…………………………………….31
2.2.2. Степенные ряды…………………………………………………………..33
2.3. Ряды Фурье …………………………………………………………………….36
2.3.1. Тригонометрический ряд Фурье. Периодические функции.
Периодические процессы………………………………………………..36
2.3.2. Сходимость ряда Фурье…………………………………………………38
2.3.3. Интеграл Фурье…………………………………………………………..41
3. Теория вероятностей ………………………….………………………………...43
3.1. Случайные события и их вероятности………………………..……………...43
3.1.1. Классификация событий…………………………...…………………….43
3.1.2. Операции над событиями……………………….…………………….....44
3.1.3. Аксиоматическое определение вероятности…………………………...46
3.1.4. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Независимость событий………………………………………………….51
3.1.5. Формула полной вероятности. Формула Байеса……………………….54
3.1.6. Последовательность независимых испытаний. Формула Бернулли….56
3.1.7. Статистическое определение вероятности………………………..……57
3.2. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики……58
3.2.1. Дискретные случайные величины………………………………………58
3.2.2. Функция распределения. Плотность распределения…………………..59
3.2.3. Математическое ожидание случайной величины……………………...62
3.2.4 Дисперсия случайной величины…………………………………………63
3.2.5. Примеры законов распределения случайных величин………………...65
3.3. Системы случайных величин……………………………………………...….67
3.3.1. Закон распределения системы случайных величин……………………67
3.3.2. Числовые характеристики случайного вектора………………………70
3.3.3. Предельные теоремы теории вероятностей…………………………….71
4. Математическая статистика ……………………………………………………73
4.1. Методы статистического описания результатов наблюдений ……………..73
4.1.1. Статистическое распределение выборки...……………………………..73
4.1.2. Эмпирическая функция распределения ………………………………..77
4.2. Оценки параметров распределения …………………………………...……..79
4.2.1. Точечные оценки параметров распределения...………………………..79
4.2.2. Интервальные оценки параметров распределения………………...…..81
4.3. Проверка статистических гипотез ……………………………………...……83
4.4. Статистические оценки параметров линейной корреляционной
зависимости (между двумя случайными величинами)……………………..90
5. Контрольная работа № 7. Задания……………………………………………...92
5.1. Пример выполнения контрольной работы № 7. Вариант № 0……………...92
5.2. Варианты заданий контрольной работы № 7………………………………...97
6. Контрольная работа № 8. Задания…………………………...………………..103
6.1. Пример выполнения контрольной работы № 7. Вариант № 0………..…...103
6.2. . Варианты заданий контрольной работы № 8……………………………...109
Приложение 1…………………………………………………..………………….123
Приложение 2……………………………………………………………………...125
Приложение 3……………………………………………………………………...126
Рекомендуемая литература……………………………………………………….127