Пример выполнения задания:

1. 

В данном случае имеем неопределенность вида «». Перенесем иррациональность в знаменатель, умножая и деля исходное выражение на такой множитель, чтобы получить разность кубов, т.е.. Этот множитель есть неполный квадрат суммы:. Получим:

2. 

Обозначим . Следовательно,. Прии. Перейдем к новой переменной:

3. 

Здесь имеет место неопределенность «». Для раскрытия этой неопределенности воспользуемся свойствами логарифмаи. Кроме того, для непрерывных логарифмических функций существует правило:. Итак:

4. 

5. 

6. .Найти .

7. 

Непосредственное исследование функции:

1. , так как функция определена всюду, кроме точки .

2. - координата точки пересечения графика с осью . Эта точка- единственная точка пересечения графика с осями координат. Приимеем; при, т.е. график лежит в первой и третьей четвертях.

3. - точка разрыва; , значит, прямаяесть вертикальная асимптота, а точка- точка разрыва второго рода.

4. Найдем асимптоты графика при :Вывод:- наклонная асимптота графика функции при.

Исследование функции с помощью первой производной:

1. .

2. Найдем нули производной, решив уравнение , т.е.:. Получим:;.

3. Результаты исследования запишем в таблицу (см. таблицу 2):

Таблица 2

	+	0	–	+	0	+
					экстремума нет

Вывод: функция возрастает на каждом из промежутков ,ии убывает на.- точка максимума, так как при переходе через эту точку и возрастаниипроизводная меняет знак с плюса на минус.

Исследование функции с помощью второй производной:

1. .

2. Найдем точки, в которых :.

3. Результаты занесем в таблицу (см. таблицу 3):

Таблица 3

			0
	–	–	0	+
			, . 0 – точка перегиба

- есть точка перегиба графика, так как при переходе через эту точку меняет знак.

Построим график функции, используя найденные данные (см. рис. 24):

(Рис. 24)

Контрольная работа №4

Задание:

1. Найти неопределенный интеграл.

2. Найти неопределенный интеграл.

3. Найти неопределенный интеграл.

4. Вычислить определенный интеграл.

5. Найти площадь фигуры, ограниченной указанными линиями.

6. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость.

Варианты заданий представлены в таблице 4.

Таблица 4

	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.
	вариант		вариант
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.
6.		6.