Транспортная задача

Наряду с задачей отыскания наибольшего потока практическое значение имеет задача наиболее экономичного распределения потока по дугам транспортной сети, получившая название транспортной. Поскольку транспортная сеть во многих случаях представляет собой схему организации перевозок каких-либо грузов, то решение транспортной задачи позволяет определить рациональный план перевозок, т. е. такое распределение маршрутов, которое обеспечивает, например, минимальную стоимость перевозок или доставку грузов к потребителю в кратчайшее время. Первая задача получила, название транспортной задачи по критерию стоимости, а вторая — транспортной задачи по критерию времени.

Для удобства дальнейшего изложения обозначим: cij = c(xi, xj) — пропускная способность дуги

(xi, xj); dij = d(xi, xj) — стоимость прохождения единицы потока по дуге (xi, xj).

Транспортную задачу по критерию стоимости в терминах теории графов можно сформулировать следующим образом.

Даны транспортная сеть с наибольшим потоком ϕ0z и поток ϕz 6 ϕ0z, который должен быть пропущен по этой транспортной сети. Требуется найти такое распределение потока ϕz по дугам транспортной сети, которое обеспечивает минимальную стоимость прохождения потока. При этом для каждой дуги должно выполняться соотношение ϕ(xi, xj) 6 cij, а стоимость прохождения потока ϕ(xi, xj) по дуге

(xi, xj) равна dijϕ(xi, xj).

Для решения этой задачи будем рассматривать величины dij как длины соответствующих дуг. В этом случае стоимость прохождения потока ϕ по какому-либо пути µ от x0 до z будет равна произведению длины этого пути на значение потока ϕ и задача минимизации стоимости прохождения потока сведется к решению рассмотренной ранее задачи нахождения кратчайшего пути в графе от x0 до z. Если нет ограничений на пропускную способность дуг, то кратчайшим путем является тот, который обеспечивает минимальную стоимость прохождения потока.

При наличии ограничений на пропускную способность дуг задача решается в несколько этапов путем нахождения частичных потоков на каждом этапе. Общий путь решения задачи состоит в следую-

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

щем.

В графе G1 = (X, E), изображающем транспортную сеть с длинами дуг dij = l(xi, xj), ищется кратчайший путь µ1 от x0 до z. Пусть c1 — пропускная способность пути µ1. По этому пути пропускается поток

Если ϕz 6 c1 то задача решена и путь µ1 является наиболее экономичным для потока ϕz.

Если ϕz > c1, то поток ϕ1 рассматриваем как частичный и переходим к графу G2, который получается

При этом дуги, у которых c0ij = 0, исключают из рассмотрения. Поток, распределение которого ищется в графе G2, принимаем равным

Теперь возникает первоначальная задача отыскания наиболее экономичного распределения потока ϕ0z , но уже по отношению к графу G2. Ее решение дает путь µ2 с пропускной способностью c2, через который пропускается частичный поток

Если ϕ0z 6 c2, то задача решена и наиболее экономичным распределением потоков в графе G1 будет прохождение потока ϕ1 по пути µ1 и потока ϕ2 по пути µ2.

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель

Нетрудно видеть, что в общем случае стоимость перевозки грузов по транспортной сети рассмотренного вида определяется выражением

mr

XX

i=1 j=1

Следовательно, разобранный метод решения транспортной задачи дает по существу способ нахождения величин частичных потоков ϕ(xi, yj), минимизирующих указанную сумму. Рассмотренный способ решения не является единственным.

Решение транспортной задачи по критерию времени разберем нa примере транспортной сети, заданной табл. 3.4, в которой величины dij будем теперь трактовать как время, потребное на перевозку груза из пункта xi в пункт yj и обозначать далее через tij. С подобными задачами можно столкнуться при транспортировке скоропортящихся продуктов, при доставке средств помощи в районы стихийных бедствий, при вывозке зерна нового урожая в заготовительные пункты и т.п. Во всех этих задачах стоит требование доставки всех грузов в пункты назначения за возможно более короткий промежуток времени. Рассмотрим общий путь решения этой задачи. Предположим, что каким-либо методом найдено некоторое распределение потока ϕz в графе G, изображающем рассматриваемую транспортную сеть. Выделим из графа G частичный граф G0, в который включим только дуги, участвующие в передаче потока ϕz. Пусть µ — некоторый путь, ведущий из x0 в z, tµ — время прохождения потока по этому пути. Очевидно, что время, необходимое на перевозку всех грузов из x0 в z, будет определяться путем, имеющим наибольшую продолжительность прохождения потока, так как перевозка грузов по остальным путям закончится раньше. Следовательно, время, требуемое на перевозку всех грузов,

Решение транспортной задачи по критерию времени сводится, таким образом, к тому, чтобы вы-

•Назад •Первая •Предыдущая •Следующая •Последняя •Перейти •Предметный указатель