§1. Генеральна сукупність та вибірка
Центральними поняттями математичної статистики є поняття генеральної сукупності (ГС) та вибірки.
Генеральна сукупність - це множина об'єктів однакової природи, які треба перевірити на деяку кількісну або якісну ознаку.
Вибірка або вибіркова сукупність (ВС) - це підмножина генеральної сукупності.
Основними параметрами таких сукупностей є числа N \ п - їх об'єми, тобто кількість об'єктів генеральної сукупності і вибірки відповідно. Вибірка повинна правильно відображати пропорції генеральної сукупності, тобто бути представницькою або репрезентативною.
В залежності від об'єму ГС вибірка може бути повторною або безповторною, тобто об'єкти ГС повертаються або не повертаються у генеральну сукупність. Елементи вибірки називають варіантами і записують їх у зростаючій послідовності (якщо досліджується кількісна ознака). Цю послідовність називають варіаційним рядом. Звичайно, варіаційними рядами користуються при невеликих об'ємах п вибірки.
Якщо число п велике, то елементи вибірки групують в інтервали.
Приклад 11.1. Результати 20 спостережень кількісної ознаки X ГС зведені в таблицю 1.
Таблиця 1
Тоді перший рядок цієї таблиці є варіаційний ряд, а другий рядок - це частоти пi ознаки X, сума яких дорівнює об'єму вибірки п; третій рядок - це відносні частоти ознаки xi, які обчислюють за формулою
Сума відносних частот, очевидно, дорівнює 1.
Сама таблиця дає статистичний розподіл вибірки.
Для наочності використовують різні способи графічного зображення статистичного розподілу. Якщо по осі ОХ відкладати значення варіант хi а по осі OY відкладати відносні частоти ωi а потім точки (хi, ωi) сполучити відрізками, то отримаємо так званий полігон відносних частот. Аналогічно одержують полігон частот, якщо по осі OY відкладати частоти и. (рис. 11.1).
При великих п або неперервному розподілі ознаки X доцільно значення ознаки X групувати в інтервали і будувати так звану гістограму графічного зображення.
Приклад 11.2. В результаті вимірювання валу діаметром 80 мм в партії із п деталей одержані такі значення діаметру вала (в мм):
Ряд (2) називається ранжувальним.
Для побудови варіаційного інтервального раду візьмемо 7 інтервалів, толі довжина h кожного інтеовалу буде
Одержані результати подаємо таблицею 2, яку називають варіаційним інтервальним рядом досліджуваної випадкової величини.
За даними таблиці 2 побудуємо полігон відносних частот (рис. 11.2).
За даними таблиці 2 побудуємо гістограму щільності відносних частот (рис. 11.3).
§2. Оцінка параметрів генеральної сукупності за її вибіркою
Нехай дано деяку генеральну сукупність, кожний об'єкт якої має певну кількісну ознаку X. При випадковому виборі об'єкту з ГС стає відомим і значення х ознаки X цього об'єкта, тобто можна розглядати вибір об'єкта з ГС як випробування, х - як одне з можливих значень X.
Припустимо, що з деяких міркувань вдалось встановити тип розподілу ознаки X. Тоді природно виникає задача оцінки параметрів цього розподілу. Наприклад, якщо стало відомо, що ознака X розподілена в ГС нормально, то треба наближено оцінити математичне сподівання і середнє квадратичне відхилення, які повністю визначають нормальний розподіл.
Звичайно в таких випадках ми маємо лише дані вибірки ГС, наприклад, значення хь х2, ..., хп кількісної ознаки X, отримані в результаті п спостережень. Через ці дані і оцінюють параметри розподілу.
