§ 2. Імовірність події

З випадковими явищами в нашій свідомості виникає уявлення про ймовірність таких явищ. Ми часто користуємося цими словами. Так, кожний добре розуміє зміст висловлення: "Ця подія ймовірна, а інша малоймовірна". Вживаються висловлення типу "стовідсоткова ймовірність" та "ймовірність рівна нулю". Так кажуть, коли хочуть підкреслити, що певна подія обов'язково відбудеться або не відбудеться.

Вживання терміну "ймовірність" і висловлень, аналогічних наведеним, базується на життєвому досвіді та інтуїтивному відчутті людини про можливість появи тієї чи іншої події. Незнання точного змісту поняття "ймовірність" не заважає навіть порівнювати ймовірності різних подій і явищ. Наприклад, якщо у грального кубика лише одна грань червона, а інші білі, то кожному зрозуміло, що при киданні такого кубика більш ймовірним є викидання білої грані, ніж червоної. Зрозуміло також, що двократна поява герба при киданні монети менш ймовірна, ніж поява герба при одному киданні. А стократна поява герба при стократних киданнях монети вважається дуже малоймовірною, хоча і можливою.

Метою теорії ймовірностей є кількісне вимірювання ймовірностей випадкових подій і побудова на цій основі математичної теорії, яка дозволяла б передбачити протікання явищ, пов'язаних з випадковими подіями. Зауважимо, що кількісне вимірювання одиничної випадкової події позбавлене змісту. Не можемо, наприклад, ми відповісти і на запитання, про те, що ймовірніше: те, що під час наступної грози блискавка влучить у дане дерево, чи те, що при киданні монети 50 разів усі 50 разів випаде герб? Зрозуміло, що ці події майже неможливі, але немає ніяких підстав вважати одну з них ймовірнішою за іншу.

Таким чином, говорити про ймовірність випадкової події можна лише для подій, які допускають багатократні повторення в однакових умовах, наприклад, при киданні монети. Пізніше буде показано, що при розумному означенні ймовірності має місце так званий закон великих чисел, який полягає в тому, що при w-кратних випробуваннях, результатом яких з ймовірністю р з'являється деяка подія, частота появи події (відношення числа k появи події до числа п випробувань) в певному розумінні близька до ймовірності появи цієї події.

2.1. Класичне означення ймовірності

Поняття випадкової події є первісним. Таким же первісним є поняття рівноможливих подій. Може трапитись, що, чекаючи появи подій А, В, С, ми не можемо надати переваги жодній з них. Тоді кажуть, що ці події рівноможливі.

Наприклад, якщо гральний кубик зроблено з однорідного матеріалу, то кидаючи його, ми можемо однаково чекати випадання будь-якої грані. Випадання граней такого кубика - рівноможливі події. Якщо ж гральний кубик зроблено з неоднорідного матеріалу так, що його центр ваги ближчий до деякої однієї грані, то слід чекати, що такий кубик найчастіше випадатиме саме на цю грань. Для такого грального кубика випадання граней - нерівноможливі події.

Нехай маємо повну систему рівноможливих подій А₁ , А₂, ..., А_п . Нехай деяка подія А поділяється на окремі випадки А_n1, А_п2 ,..., А_пk , що входять до складу повної системи подій. У цьому випадку кажуть, що події А_n1, А_п2 ,..., А_пk сприяють появі події А.

Означення 10.12. Відношення k/n , де п - кількість усіх подій у повній системі рівноможливих подій, a k - кількість подій, що сприяють події А, називається ймовірністю події А і позначається Р(А).

Таким чином, за означенням 10.12,

, (1)

Приклад 10.1. Знайти ймовірність того, що при киданні грального кубика випаде парне число.

Розв'язання. Події А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆, де подія А_і - випало і очок, утворюють повну систему рівноможливих подій. Якщо подія А - випало парне число очок, то їй сприяють події А₂, А₄, А₆. Тому, за означенням 10.12

Приклад 10.2. В урні сто занумерованих жетонів з номерами від 1 до 100. Яка ймовірність того, що номер навмання вийнятого з урни жетона не містить цифри 3?

Розв'язання. Безпосереднім підрахунком знаходимо, що кількість чисел у межах першої сотні, які містять цифру 3, дорівнює 19. Це числа 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83, 93. Тоді чисел, що не містять цифри 3, буде 100-19 = 81. Тому за означенням 10.12 шукана ймовірність буде