§4. Перевірка статистичних гіпотез

Нехай за вибіркою об'єму п отриманий емпіричний розподіл х₁, х₂,..., х_т з частотами n₁, n₂,..., п_т. За цими даними висувають гіпотезу про закон розподілу генеральної сукупності, наприклад, вважають, що ГС розподілена рівномірно або нормально. Такі гіпотези називають статистичними. Потім для об'єктів, які попали у вибірку, обчислюють частоти, виходячи з теоретичної гіпотези. Ці частоти називають вирівнюючими. Вони, взагалі кажучи, відмінні від спостережуваних.

Постає задача: як визначити, чи вірно висунута гіпотеза, чи ні? Для її розв'язання застосовують так звані критерії згоди емпіричних спостережень висунутої гіпотези. Таких критеріїв

Приклад 11.10. При рівні значущості 0,05 перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності, якщо відомі емпіричні і теоретичні частоти: емпіричні частоти п_{: 6, 13, 38, 74, 106, 85, 30, 14; теоретичні частоти n_i 3, 14, 42, 82, 99, 76,37, 13.

Розв'язання. Для обчисленняскладаємо розрахунковутаблицю 4.

Таблиця 4

Приклад 11.11. При рівні значущості 0,05 перевірити гіпотезу про нормальний розподіл генеральної сукупності з прикладу 11.2 (таблиця 2).

Розв'язання. Побудована гістограма (рис. 11.3) підказує гіпотезу про нормальний закон розподілу генеральної сукупності за даними вибірки.

§ 5. Лінійна кореляція

Часто доводиться мати справу з більш складними залежностями, ніж функціональна, наприклад, зв'язок між опадами та урожаєм, або зв'язок між товщиною снігу зимою і об'ємом повені навесні. Тут кожному значенню однієї величини відповідає множина можливих значень іншої величини. Подібні залежності називають кореляційними.

Означення 11.3. Дві випадкові величини X і Y знаходиться в кореляційній залежності, якщо кожному значенню однієї з них відповідає певний розподіл імовірностей другої величини.

Нехай в результаті п випробувань одержані пари значень

За допомогою методу найменших квадратів можна показати, що величина d буде найменшою при таких значеннях k і b:

Пряма, задана рівнянням (22), називається прямою вибіркової регресії Y на Х.

Приклад 11.12. Нехай в результаті 10 випробувань отримані такі пари значень випадкових величин X і Y: (1, 1), (2, 3), (2, 4), (З, 6), (4, 5), (6, 3), (7, 5), (8, 4), (9, 12), (10, 10).

Записати рівняння прямої вибіркової регресії Y на X.

Розв'язання. Для обчислення чисел k і b складемо розрахункову таблицю 6.

Таблиця 6

Це значить, що степінь лінійної залежності між випадковими величинами X і У досить висока.

В складніших випадках залежність між випадковими величинами X і Y може бути квадратичною у = ах²+bх + с, показниковою у = а-b^х тощо. В усіх цих випадках також застосовують метод найменших квадратів для обчислення параметрів а, b, с.