2.1. Генеральна і вибіркова середні
Нехай вивчається дискретна ГС об'єму N відносно ознаки X. Тоді число
Нехай для вивчення генеральної сукупності ознаки X зроблена вибірка об'єму п. Тоді число
Вибіркова середня для різних вибірок об'єму п з однієї і тієї ж генеральної сукупності буде, взагалі кажучи, різною, оскільки
вибір і - го об'єкта є спостереження випадкової величини Xt, а їх середнє арифметичне
Обчислимо М(Х), використовуючи рівність М(ХА = М(Х) і властивості математичного сподівання:
Таким чином, математичне сподівання вибіркової середньої збігається з генеральною середньою.
2.2. Генеральна і вибіркова дисперсії
Для характеристики розсіювання значень кількісної ознаки X генеральної сукупності навколо середнього значення вводять поняття генеральної дисперсії Dr за формулою
Генеральним середнім квадратичним відхиленням (його ще називають стандартом) називається число
Обчислимо дисперсію ознаки X, розглядаючи її як випадкову величину:
тобто D(X) = Dr.
У випадку неперервного розподілу ознаки X покладають, за означенням,
Використовуючи формулу (8), формулу (5) можна записати у вигляді
Для характеристики розсіювання спостережуваних значень кількісної ознаки X вибірки навколо її середнього значення хв вводять поняття вибіркової дисперсії DB за формулою
Вибірковим середнім квадратичним відхиленням (або стандартом) називають число
Доведення. За властивостями математичного сподівання маємо:
2.3. Оцінка параметрів розподілу
Однією із задач математичної статистики є оцінка
Для оцінки генерального середнього квадратичного відхилення використовують виправлене середнє квадратичне відхилення
Приклад 11.3. Через кожну годину вимірювалась напруга в електромережі. Результати вимірювань подані таблицею 3.
Таблиця З
|
і |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
xі |
222 |
219 |
224 |
220 |
218 |
217 |
221 |
220 |
215 |
218 |
223 |
225 |
|
| ||||||||||||
|
і |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
|
xі |
220 |
226 |
221 |
216 |
211 |
219 |
220 |
221 |
222 |
218 |
221 |
219 |
Треба знайти оцінки для математичного сподівання, дисперсії і середнього квадратичного відхилення результатів вимірювань.
§ 3. Довірчі інтервали для параметрів нормального розподілу
3.1. Надійність. Довірчі інтервали
3.2. Довірчий інтервал для математичного сподівання при відомому а
В ряді випадків середнє квадратичне відхилення <т похибок вимірювання відоме. Наприклад, якщо вимірювання проводиться одним і тим же приладом при однакових умовах, то а для всіх вимірювань однакове і часто відоме.
також має на основі теореми Ляпунова нормальний розподіл, тобто
Отже, довірчий інтервал (6,11; 6,57) покриває параметр а з надійністю 0,99.
3.3. Довірчий інтервал для математичного сподівання при невідомому а
Нехай випадкова величина X має нормальний розподіл з
3.4. Довірчий інтервал для середнього квадратичного відхилення
3.5. Оцінка істинного значення вимірюваної величини та точності вимірювань
Нехай проводиться п незалежних рівноточних вимірювань деякої величини, істинне значення а якої невідоме. Рівноточними вважають вимірювання одним і тим же приладом в однаковихумовах.
Результати окремих вимірювань розглядають як випадкові величини Х1, Х2, ..., Хп, які незалежні, бо незалежні вимірювання, мають одне і те ж математичне сподівання а -істинне значення вимірюваної величини, однакові дисперсії σ2, бо вимірювання рівноточні, та нормальний розподіл, який підтверджується дослідом. Тому довірчий інтервал, що покриває істинне значення вимірюваної величини а з надійністю у має вигляд
Таким чином, з надійністю у = 0,99 істинне значення вимірюваної величини а знаходиться в довірчому інтервалі (36,719; 47,919).
В теорії похибок точність вимірювань прийнято характеризувати середнім квадратичним відхиленням <т випадкових похибок вимірювань. Для оцінки а використовують виправлене середнє квадратичне відхилення s. Оскільки результати вимірювань незалежні, мають одне і те ж математичне сподівання і однакову дисперсію, то
