2.2. Статистичне означення ймовірності

Класичне означення ймовірності в застосуванні до складних задач природничо-наукового або технічного характеру зазнає непереборних труднощів принципового характеру. Перш за все, в ряді випадків виникає питання знаходження розумного способу виділення "рівноможливих випадків". Наприклад, вивести ймовірність розпаду атома радіоактивної речовини за певний проміжок часу або ймовірність народження хлопчика неможливо за допомогою міркувань симетрії або інших.

У той же час довготривалі спостереження над появою або не появою події А при великій кількості повторних випробувань за одних і тих же умов показують, що для широкого кола явищ число появ або не появ події А підлягає стійким закономірностям, а саме: якщо позначити через т число появ події А при п незалежних випробуваннях, то виявляється, що відношення для достатньо великих п зберігає майже сталу величину.

Вперше така стійкість частот була помічена на явищах демографічного характеру. Наприклад, уже в давнині було помічено, що для великих міст і цілих держав відношення числа новонароджених хлопчиків до числа всіх новонароджених щороку майже не змінюється і коливається біля числа 0,512. Аналогічно частота народження дівчаток коливається біля числа 0,488.

Існує великий експериментальний матеріал з перевірки факту стійкості частот багатьох явищ. Наприклад, результати кидання монети, представлені в наступній таблиці.

Експериментатор	Число кидань	Число випадання герба	Частота
Бюффон	4000	2018	0,5080
К. Пірсон	12000	6019	0,5016
К. Пірсон	24000	12012	0,5005

Сьогодні існують інші приклади перевірки факту стійкості частот. Наприклад, таблиці випадкових чисел, в яких кожна цифра вибрана випадково з сукупності цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. У одній з таких таблиць серед перших 10000 випадкових чисел цифра 7 зустрінеться 968 разів, тобто її частота 0,0968 близька до ймовірності 0,1 появи цифри 7.

Цей факт стійкості частоти появи певних подій говорить про існування незалежних від експериментатора об'єктивних закономірностей протікання явища. Те, що для подій, до яких можна застосувати класичне означення ймовірності, частота появи події при великій кількості випробувань близька до ймовірності, дає право вважати цю сталу частоту або число, близьке до неї, ймовірністю такої події.

Так визначена ймовірність називається статистичною. Статистичне означення ймовірності має описовий, а не формально-математичний характер. Проте це не зменшує його цінності, оскільки пізнання закономірностей ніколи не береться з нічого, йому завжди передує експеримент, спостереження.

Недоліків класичного і статистичного означення ймовірності позбавлене аксіоматичне означення ймовірності.

2.3. Аксіоматичне означення ймовірності

Теорія ймовірностей як математична наука формувалась досить довго. Застосування теорії ймовірностей до вивчення явищ природи були ефективними, але мало обґрунтованими. Бурхливий розвиток природознавства у другій половині XIX століття і на початку XX століття сприяв систематичному вивченню основних понять теорії ймовірностей, яке врешті-решт привело до аксіоматичного обґрунтування теорії ймовірностей.

Вперше аксіоматику теорії ймовірностей запропонував у 1917 році відомий математик С.Н. Бернштейн. У 1933 році A.M. Колмогоров запропонував інший підхід до аксіоматичного обґрунтування теорії ймовірностей.

Сформулюємо одну з можливих систем аксіом, яка визначає ймовірність.

Нехай дано систему S випадкових подій, яка задовольняє наступні умови (аксіоми).

Аксіома 1. Коленій події А з даної системи подій S поставлено у відповідність дійсне число Р(А), яке називається ймовірністю події А, причому 0 < Р(А) < 1.

Аксіома 2. Коли І - вірогідна подія, то Р(І) = 1.

Аксіома 3. Коли події А і В належать системі подій S, то їх сума А + В також належить цій системі.

Аксіома 4. Коли подія А належить системі подій S, то протилежна подія А також належить цій системі.

Аксіома 5. Коли події А і В несумісні, то Р(А + В) = Р(А)+Р(В).

Аксіома 6. Коли подія В є окремим випадком події А, то Р(В)<Р(А).

Виходячи з цих аксіом, можна довести, що коли А і В - дві події, що належать системі S, то їх добуток А • В також належить системі S, оскільки А • В = А + В.

Системі S належить також вірогідна подія, оскільки А + А = /, а також неможлива подія О, оскільки А • А =О.

З аксіом 3-6 можна вивести формули

Р(А + В) = Р(А) + Р(В)-Р(АВ), Р(А) = 1-Р(А), Р(О) = 0

та інші.

Приклад 10.3. У коло радіуса R вписано рівносторонній трикутник. Яка ймовірність того, що точка, навмання поставлена в даному крузі, буде всередині трикутника?

Розв'язання. Тут не можна виділити скінченної системи рівноможливих подій, для якої дана подія була б допустимою, а, значить, не можна застосувати класичне означення ймовірності.

Але якщо за ймовірність цієї події взяти відношення площі трикутника до площі круга

то можна переконатися, що воно задовольняє аксіоми 1 - 6 і тому його можна прийняти за ймовірність події.

Це приклад так званої геометричної ймовірності. Його можна легко узагальнити. Справді, нехай на площині задана область D, площа якої S, а всередині області D задана інша область D_l, площа якої S₁. Позначимо навмання точку області D. За ймовірність того, що ця точка належатиме області D_l, можна взяти число .

У рамках класичного означення ймовірності завжди, коли ймовірність події дорівнює 1, то подія вірогідна, коли дорівнює 0, то подія неможлива. При аксіоматичному означенні ймовірності ці твердження невірні. Наприклад, всередині даного круга позначено точку. Яка ймовірність того, що навмання взята точка всередині круга є раніше позначеною?

Зрозуміло, що ця подія не є неможливою. Але площа області, що складається з однієї точки, дорівнює нулю, тому відношення цієї площі до площі круга - також нуль, і, отже, Р(А) = 0.

Цей приклад говорить про обмеженість і аксіоматичного означення ймовірності.

Надалі ми будемо користуватися класичним означенням ймовірності.