§ 8. Закон великих чисел
Закон великих чисел є загальною назвою так званих граничних теорем теорії ймовірностей, які встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових величин або випадкових подій при великій кількості випробувань. Вище були описані деякі граничні теореми у схемі Бернуллі.
Закон великих чисел відіграє важливу роль у різних процесах, пов'язаних з масовим виробництвом. Граничні теореми, які встановлюють граничні закони розподілу випадкових величин, об'єднують загальною назвою - центральна гранична теорема. Прикладом такої теореми є згадувана вище теорема Ляпунова.
Теорема 10.13. Нехай випадкова величина X приймає лише невід'ємні значення. Тоді має місце нерівність
Теорема 10.14 (Нерівність Чебишева). Для довільної випадкової величини X і довільного дійсного числа є>0 має місце нерівність
Звідси на основі рівності (39) випливає нерівність (38). Теорему доведено.
Суть теореми Чебишева така. Незважаючи на те, що кожна з незалежних випадкових величин Х{ може приймати значення, далекі від математичного сподівання M(Xt), середнє арифметичне X достатньо великого числа випадкових величин з великою ймовірністю близьке до середнього арифметичного їх математичних сподівань.
Тому теорема Чебишева має важливе практичне значення. Нехай, наприклад, вимірюється деяка величина. Звичайно, за її значення приймають середнє арифметичне результатів кількох вимірювань. Але чи так можна робити? Теорема Чебишева дає позитивну відповідь на це питання.
На теоремі Чебишева ґрунтується широко використовуваний у статистиці вибірковий метод, згідно з яким за порівняно невеликою вибіркою роблять висновок про всю сукупність досліджуваних об'єктів.
Із частинного випадку (43) теореми Чебишева випливає теорема Бернуллі, яка є найпростішою формою закону великих чисел.
Теорема 10.16 (Теорема Бернуллі). Нехай т - число появ події А в п незалежних випробуваннях, р - ймовірність появи події А в кожному випробуванні. Тоді для довільного дійсного числа є>0 має місце рівність
Практичний зміст теореми Бернуллі такий: при сталості ймовірності випадкової події А в цих випробуваннях можна з імовірністю, як завгодно близькою до 1, стверджувати, що спостережувана відносна частота події А буде як завгодно мало відхилятися від її ймовірності.
Елементи математичної статистики
У багатьох випадках явище, яке вивчають, знаходиться під дією великої кількості факторів, вплив яких повністю врахувати неможливо. Тоді застосовують так званий статистичний метод вивчення, який полягає у систематизації та обробці статистичних даних однорідних дослідів. Наприклад, якщо є партія 10000 деталей і її треба перевірити на предмет довжини кожної деталі, то перевірка усієї партії займе багато часу. В таких випадках обмежуються перевіркою, наприклад, 100 навмання відібраних деталей і за результатами цієї перевірки роблять висновок про розміри деталей усієї партії.
Суть статистичного методу образно пояснив один математик: "... для оцінки смаку борщу не обов'язково з'їдати цілий котел борщу, а досить добре його перемішати, потім взяти і з'їсти одну ложку борщу". Основним у цьому рецепті є вимога -добре перемішати борщ у котлі.
Предметом математичної статистики є розробка методів відбору та обробки статистичних даних для одержання наукових та практичних висновків.
Методи математичної статистики ефективно використовуються при розв'язанні багатьох задач науки, виробництва, планування, управління, ціноутворення тощо.
Математична статистика виникла в 17-му столітті і розвивалась паралельно з теорією ймовірностей. Великий вклад у її розвиток внесли ГТ.Л. Чебишев, А.А. Марков, О.М. Ляпунов, К. Гаусе, К. Пірсон, Ф. Гальтон. У 20 столітті найбільший вклад у математичну статистику зробили В.І. Романовський, Ст'юдент (псевдонім У.С. Госсета), A.M. Колмогоров, Е. Пірсон, Ю. Нейман, А.В. Скороход, B.C. Королюк та інші вчені.