6.2. Основні закони розподілу дискретних випадковихвеличин
1) Біноміальний розподіл. Покладаючи у формулі Бернуллі (17) т - 0, 1, 2,..., «, будемо мати закон розподілу випадкової величини X: число появ події А у п випробуваннях:
2) Розподіл Пуассона
Означення 10.19. Кажуть, що випадкова величина X розподілена по закону Пуассона, якщо вона задана таблицею
6.3. Основні закони розподілу неперервних випадкових величин
1) Рівномірний закон розподілу
Означення 10.19. Рівномірним називається розподіл неперервної випадкової величини X, яка приймає свої значення на відрізку [а; b], якщо щільність ймовірності f(x) на цьому відрізку стала, а поза ним дорівнює нулю, тобто
2) Нормальний закон розподілу
Означення 10.20. Нормальним законом розподілу неперервної випадкової величини X (або законом Гаусса) називається розподіл, у якого
§ 7. Математичне сподівання і дисперсія випадкової величини
7.1. Математичне сподівання і дисперсія дискретної випадкової величини
Закон розподілу повністю задає дискретну випадкову величину. Але зустрічаються випадки, коли цей закон невідомий. Тоді випадкову величину вивчають за її числовими характеристиками, однією з яких є математичне сподівання.
Означення 10.21. Математичним сподіванням М(Х) дискретної випадкової величини X називається число
Приклад 10.15. Знайти математичне сподівання виграшу X з прикладу 10.14.
Розв'язання. За формулою (27) маємо
М(Х) = 0 0,9889 + 1 0,01 + 100- 0,001 + 1000- 0,0001 = 0,21.
Таким чином, 0,21 гривні або 21 копійка і є справедлива ціна одного лотерейного білета.
Теорема 10.12. Математичне сподівання дискретної випадкової величини X наближено дорівнює середньому арифметичному всіх її значень (при достатньо великому числі випробувань).
Доведення. Припустимо, що проведено п випробувань, у яких дискретна випадкова величина X прийняла значення хх, х2, ,..., хп відповідно m1, т2, ,..., тп разів, так що ml+m2+... + mn=n. Тоді середнє арифметичне усіх значень, прийнятих величиною Ху буде
Теорему доведено.
У зв'язку з характеристикою математичного сподівання у теоремі 10.12, математичне сподівання випадкової величини X часто називають її середнім значенням.
Користуючись означенням математичного сподівання, можна встановити такі його властивості.
1 °. Математичне сподівання сталої величини С дорівнює С, тобто М(С) = С.
2°. Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання, тобто М(СХ) = СМ(Х).
3°. Математичне сподівання суми двох випадкових величин X і Y дорівнює сумі їх математичних сподівань, тобто М{Х + Y) = M{X) + M(Y).
Випадкові величини X і Y називаються незалежними, якщо закон розподілу кожної з них не залежить від того, яке можливе значення прийняла друга величина.
4°. Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин X і Y дорівнює добутку їх математичних сподівань, тобто М(Х · Y) = М(Х) · M{Y).
5°. Математичне сподівання різниці двох випадкових величин X і Y дорівнює різниці їх математичних сподівань, тобто M(X~Y) = M(X)-M(Y).
Для прикладу доведемо, що М{СХ) = СМ(Х). Маємо: М(СХ) = Сх1р1 +Сх2р2 +...+Сх„рп = С(х1р1 +х2р2 +...+хпрn) = СМ(Х).
Якщо множина можливих значень дискретної випадкової
умови, що ряд абсолютно збіжний. Якщо ряд розбіжний або збіжний умовно, то кажуть, що дискретна випадкова величина X не має математичного сподівання.
Наведені властивості математичного сподівання спрощують його обчислення в ряді випадків. Наприклад, для біноміального
розподілу дискретної випадкової величини
Безпосереднє обчислення суми у рівності (28) приводить до такого ж результату.
Для розподілу Пуассона
Математичне сподівання не дає повної характеристики закону розподілу випадкової величини. Наприклад, розглянемо дві випадкові величини X і У, задані своїми законами розподілу:
але можливі значення величин X і Y "розкидані" або "розсіяні" навколо своїх математичних сподівань по-різному: можливі значення випадкової величини X значно ближчі до свого математичного сподівання, ніж можливі значення випадкової величини Y.
Тому потрібна нова числова характеристика випадкової величини, за якою можна було б судити про "розсіювання" можливих значень цієї величини. Такою характеристикою є дисперсія випадкової величини X.
Означення 10.22. Дисперсією D(X) дискретної випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення випадкової величини X від її математичного сподівання, тобто
7.2. Математичне сподівання і дисперсія неперервної випадкової величини
Означення 10.24. Математичним сподіванням неперервної випадкової величини X з щільністю ймовірності f{x) називається величина невласного інтеграла, якщо він збіжний:
Означення 10.25. Дисперсією неперервної випадкової величини X з математичним сподіванням а і щільністю імовірності f(x) називається величина невласного інтеграл, якщо він збіжний:
Виходячи з цих означень, можна показати, що математичне сподівання і дисперсія неперервної випадкової величини X мають ті ж властивості, що і математичне сподівання та дисперсія дискретної випадкової величини X.
Для нормального закону розподілу неперервної випадкової величини X
Якщо неперервна випадкова величина X нормально розподілена, то ймовірність того, що X прийме значення з
Приклад 10.17. Нехай неперервна випадкова величина X нормально розподілена і а = 30, σ = 10. Яка ймовірність того, що X прийме значення з інтервалу (10; 50)?
Розв'язання. За формулою (33) маємо
Нормальний закон розподілу має важливе значення в теорії ймовірностей. Цим законом характеризуються ймовірності стрільби по цілі, ймовірності у вимірюваннях, у страховій справі тощо.
Російський математик О.М. Ляпунов (1857-1918) довів так звану центральну граничну теорему, за якою закон розподілу суми достатньо великого числа незалежних випадкових величин, вплив кожної з яких на всю суму дуже малий, близький до нормального.