Теорія поля / Посiбник

83

+τ , інша – заряд −τ . Візьмемо у їхньому полі деяку довільну точку M .

→ → →

Результуюча напруженість поля в ній EM = EM 1 + EM 2 . Відстань від точки M до позитивно зарядженої осі позначимо через a , до негативно зарядженої осі – через b . Потенціал точки M дорівнює сумі потенціалів від кожної осі:

ϕM = 2πετ a ln 1a + 2πε−τ a ln b1 + C = 2πετ a ln ba + C . (2.31)

Для еквіпотенціальних ліній (ϕ = const ) відстань ba = const .

Дводротова лінія із провідниками кінцевого радіуса схематично наведена на рис. 2.14.

Рисунок 2.14 – Схема дводротової лінії

Нехай два дроти однакового радіуса R перебувають на відстані d друг від друга. Якщо лівий дріт буде мати заряд +τ на одиницю довжини, а правий −τ , то у просторі між ними виникне електричне поле. Заряди дротів розподіляться по поверхні з неоднаковою густиною: на внутрішніх стінках дротів густина заряду буде більша, ніж назовні.

Поверхня кожного дроту є еквіпотенціаллю. Усередині дротів E =0. Задача про поле дводротової лінії зводиться до розглянутої вище задачі про поле двох заряджених осей.

86

рівномірно розподілені по всій поверхні. Тому поле між цими електродами можна розглядати як поле, створене зарядженою віссю (див. приклад 2.5). Тоді напруженість електричного поля між провідниками визначається вира-

зом (2.29).

Напруга між оберненими один до одного поверхнями дротів U = ϕ1 -ϕ2 . Тут ϕ1 – потенціал на поверхні внутрі-

шнього провідника; ϕ2 – потенціал на внутрішній поверхні

зовнішнього провідника. Із (2.30) знаходимо U :

Зі співвідношення (2.34) видно, що ємність коаксіального кабелю, як і дводротової лінії (2.33), залежить тільки від параметрів матеріального середовища і геометрії електродів.

Власна індуктивність коаксіального кабелю L на одиницю довжини при постійному струмі і μ = const створюється магнітними потоками, розподіленими в трьох областях поля: усередині жили кабелю L1 , в області L2 , зайнятій ізоляцією (зовнішньою відносно до струму жили), і усередині оболонки L3 (див. рис. 2.16). Повна власна індуктив-

ність кабелю L = L1 + L2 + L3 .

Приклад 2.7 (використання аналогії стаціонарних електричних полів). Якщо будь-які електроди помістити в провідне середовище і приєднати до джерела е.р.с., то у

87

середовищі виникне струм I . При напрузі між електродами U12 провідність середовища є величиною, зворотною

опору G = I /U12 .

ність

→ →

γ òE dS

G = 2 → → . (2.35)

òE dl

1

У свою чергу, в електричному полі із електродами такої ж конструкції ємність за наявності різнойменних ста-

→ →

тичних зарядів Q = ò D dS буде мати вигляд

триком із абсолютною діелектричною проникністю εa , так

відноситься до провідності G між тими ж тілами, якщо б помістити їх у середовище із електричною провідністю γ ,

як εa співвідноситься з γ .

Співвідношення (2.37) дозволяє за відомим виразом для ємності між будь-якими тілами одержати вираз для

88

провідності або зробити зворотну операцію. Так, наприклад, ємність дводротової лінії (2.33):

C = πεa . ln dR

Для того щоб одержати вираз для провідності між двома паралельними дротами (циліндрами) довжиною l , зануреними у середовище із провідністю γ , необхідно від-

повідно до (2.37) замінити εa на γ . Тоді отримаємо

G = π γ l . ln dR

Або інший приклад. Ємність коаксіального кабелю

(2.34):

Провідність між двома співвісними циліндрами довжиною l , які розділені середовищем із питомою провідністю γ , ідентифікується таким виразом:

Аналогію можна поширити і на більш складні поля.

Приклад 2.8 (екранування електростатичних і маг-

нітних полів). Екранами є пристрої, призначені для захисту установок від електромагнітних зовнішніх полів, а також навколишнього простору від полів, створених самою установкою.

Екрани поділяють на електростатичні, магнітні та електромагнітні.

89

Електростатичні екрани грунтуються на викорис-

танні явища електростатичної індукції: поле зовнішніх зарядів компенсується полем викликаних ними зарядів, розміщених на зовнішній поверхні екрана. Тому усередину металевого екрана зовнішнє

поле не проникає (рис. 2.17).

-+ Товщина екрана на якість

редині екрана. При екрануванні зовнішнього магнітного поля застосовують замкнені феромагнітні оболонки із листових або масивних феромагнітних матеріалів. При цьому майже

90

Запитання для самоперевірки

1 Чим відрізняються рівняння квазістатичних, квазістаціонарних і стаціонарних полів від загальної системи рівнянь Максвелла?

2 Яким способом можна розділити систему рівнянь Максвелла на рівняння електричних і магнітних стаціонарних полів?

3 Які поля називаються потенціальними? У чому полягає фізичний зміст потенціалу і різниці потенціалів?

4 Які основні теореми і закони електростатики ви знає-

те?

5 Які основні закони описують електричні поля постійного струму?

6 У чому полягає принципова відмінність властивостей магнітного поля постійного струму від властивостей електричних стаціонарних полів?

7 Чим відрізняються граничні умови електричних та магнітних стаціонарних полів від загальних граничних умов електромагнітного поля?

8 У чому відмінність закону Ома в диференційній формі від його інтегральної форми запису?

9 Чим відрізняється інтегральна і диференційна форми запису закону Джоуля – Ленца?

10 У чому відмінність закону повного струму від закону Біо-Савара-Лапласа?

11 Чим відрізняється скалярний потенціал магнітного

→

поля ϕм від векторного A ?

12 Які основні властивості і рівняння призначені для побудови аналогії стаціонарних полів? При розв'язанні яких задач у теорії поля застосовується аналогія стаціонарних полів?