Теорія поля / Посiбник

91

13 Для яких елементів електричних кіл застосовуються поняття ємності, індуктивності і взаємної індуктивності? Дайте визначення цих параметрів.

14 Чи можливо із співвідношень для електричної та магнітної енергій визначити ємність і індуктивність?

15 Які фізичні принципи використовуються при електростатичному і магнітному екрануванні? Наведіть схеми виконання екранів.

92

РОЗДІЛ 3 ЕЛЕКТРОМАГНІТНІ ХВИЛЬОВІ ПРОЦЕСИ

Процес поширення електромагнітного збурення називається електромагнітною хвилею. Зміст поняття «хвильовий процес» неважко зрозуміти, проаналізувавши рівняння Максвелла (1.9), (1.10) у диференційній формі запису. Припустимо, що струм провідності проходить у будьякому середовищі і збуджує вихрове магнітне поле (відповідно до першого рівняння Максвелла). Якщо струм змінюється в часі, подібним чином змінюється і магнітне поле, яке збуджує (відповідно до другого рівняння Максвелла) вихрове електричне поле. Але змінне електричне поле породжує струм зміщення, який, як і струм провідності, у свою чергу приводить до збудження вихрового магнітного поля. Таким чином, процес взаємного збудження полів, почавшись, може тривати скільки завгодно довго у часі і у просторі за умови відсутності втрат. Подібні процеси нази-

вають хвильовими.

3.1 Хвильові функції та рівняння

Уявлення про те, як поширюється хвиля зі швидкістю v , можна одержати, розглядаючи для простоти відоме у фізиці одновимірне хвильове рівняння [9, 10] для деякої

скалярної функції u (z, t) :

де C± – постійні інтегрування, що залежать від характеру зміни хвильових полів.

94

нійними функціями аргументу ω ( t ± z / vф ) = ω t ± kz . Тут ω = 2π f – колова частота часових коливань; k = ω / vф – фазова стала поширення або хвильове число; vф – фазова

швидкість (швидкість поширення фронту хвилі). Ці параметри хвилі пов'язані із часовим періодом T і просторовим періодом λ (довжина хвилі) однотипними співвідношен-

нями: ω = 2π /T , k = 2π / λ , vф = 2π / k .

Перейдемо до розгляду основних видів хвильових рівнянь. Визначити структуру та інші характеристики поля, безпосередньо використовуючи рівняння Максвелла, важко, оскільки у кожному із них присутні два невідомі пара-

→→ → →

метри: H , D і E , B відповідно. Тому для описання поля у однорідному лінійному середовищі за відсутності стру-

→

мів (δ = 0 ) і вільних зарядів ( ρ = 0 ) використовуються однорідні хвильові рівняння Гельмгольца із однією змінною,

→

а за наявності струмів (δ ¹ 0 ) і вільних зарядів ( ρ ¹ 0 ) ви-

користовуються неоднорідні хвильові рівняння Даламбера. Рівняння Гельмгольца можна отримати із першого і другого рівнянь Максвелла в диференційній формі запису

(1.9), (1.10):

→ →

Підставимо значення rot E і rot H із вищенаведених рівнянь Максвелла:

96

де p = jωεka μa – коефіцієнт поширення хвилі.

Неоднорідне хвильове рівняння Даламбера для век-

→

торного потенціалу A .

Скористаємося першим рівнянням Максвелла в диференційній формі (1.9) і помножимо його на μa :

Щоб перейти від вектора E до вектора A , скористаємося другим рівнянням Максвелла (1.10) і виразом магнітної індукції через векторний потенціал (1.5).

Якщо рівні ротори від двох функцій, то рівні і їх функції із точністю до градієнта від деякої скалярної функції (тому що rotgradϕ ≡ 0 ), тобто

98

Неоднорідне хвильове рівняння Даламбера для скалярного потенціалу ϕ .

Скористаємося третім рівнянням Максвелла в дифере-

→

нційній формі (1.11) і підставимо в нього значення E із

(3.6):

Із урахуванням калібрування Лоренца (3.8) отримаємо рівняння Даламбера для скалярного потенціалу, яке також можна записати через чотиривимірний Лапласіан:

99

Слід також зазначити, що рівняння Гельмгольца в основному використовуються при вивченні гармонійних хвильових процесів у різних середовищах і напрямних системах, а рівняння Даламбера разом із рівняннями Максвелла дозволяють проаналізувати процеси випромінювання електромагнітних хвиль антенними пристроями.

3.2 Параметри плоскої хвилі в однорідному середовищі

За найпростішу модель електромагнітного хвильового процесу розглянемо плоску електромагнітну хвилю, що поширюється в однорідному середовищі. Хоча така модель і є ідеалізованою, але вона дозволяє у спрощеному вигляді вивчати загальні властивості і параметри електромагнітної хвилі.

Для опису поширення електромагнітних хвиль використовується поняття фазового фронту – поверхні, що про-

ходить через точки з однаковими фазами.

Однорідною називається хвиля, яка має постійну ам- плітуду у всіх точках фазового фронту.

Хвиля називається плоскою, якщо її фазовий фронт являє собою площину, перпендикулярну до напрямку поширення хвилі.

За формою фазового фронту, крім плоскої хвилі, розрізняють циліндричну й сферичну хвилі. Хвилю із циліндричним фронтом випромінює, наприклад, довгий провідник зі струмом, сферичну – куля. Але далеко від джерела електромагнітних коливань і для обмеженої області простору із достатнім ступенем точності можна вважати фронт хвилі плоским (рис. 3.2).

100

Тому плоскою однорідною електромагнітною хви-

лею називається електромагнітне поле, векторні величини

→→

якого E і H у кожний момент часу у всіх точках площини (x0y) , перпендикулярної до напрямку поширення хвилі

пендикулярні і залежать тільки від координати z та не

→ →

залежать від x і y . Як правило, вектори E і H зміню-

ються вздовж осі z за гармонійним законом (законом синуса чи косинуса).

Hy E

Рисунок 3.2 – Схематичне зображення фронту хвилі, яка радіально розходиться від джерела

Визначимо закон поширення плоскої електромагнітної хвилі, тобто знайдемо хвильову функцію плоскої хвилі. Для цього розв'яжемо хвильові рівняння Гельмгольца в комплексній формі (3.4), які для плоскої хвилі запишуться у такий спосіб: