Теорія поля / Посiбник

∙

де p – коефіцієнт поширення;

α – коефіцієнт загасання; β – коефіцієнт фази.

Розв'язок рівняння Гельмгольца будемо шукати у вигляді

Для відновлення дійсних значень необхідно вираз для

комплексних амплітуд (3.15) помножити на e jω t і взяти дійсну частину, використовуючи тригонометричну формулу Ейлера

Re(e j(ωt−β z) ) = cos(ω t − β z) .

У результаті отримаємо

E = Em+ e−α z cos(ω t − β z +ϕ+ )+

(3.16)

+Em− eα z cos(ω t + β z +ϕ− ) .

Тут ϕ+ і ϕ− – фази хвилі, що залежать від вибору по-

чатку відліку.

Аналогічні вирази можна отримати із другого рівняння (3.12) для H -компоненти поля.

102

Якщо вважати, що на шляху поширення хвилі немає перешкод, то амплітуди відбитої хвилі Em− , Hm− повинні

дорівнювати нулю і розв'язки для плоскої електромагнітної хвилі набудуть вигляду:

Слід зазначити, що для незатухаючої хвилі (відсутні втрати у середовищі) графіки розв'язків (3.17) будуть за характером ідентичні рис. 3.1. Якщо середовище із втратами (α ¹ 0 ), то амплітуди гармонійних функцій будуть за-

гасати за експоненціальним законом e−α z .

Основними параметрами, які характеризують поширення електромагнітної хвилі, є:

–коефіцієнт поширення p ;

–коефіцієнт фази β ;

–коефіцієнт загасання α ;

–фазова швидкість vф ;

–довжина хвилі λ ;

–хвильовий опір Zхв ;

– глибина проникнення хвилі .

Коефіцієнт поширення p є комплексною величиною,

яка характеризує зміну амплітуди і фази біжучої елек- тромагнітної хвилі і для плоских однорідних хвиль при заданій частоті ω визначається тільки параметрами сере-

довища (εa , μa і γ ). Коефіцієнт поширення p (3.13) у за-

гальному вигляді може бути записаний як через коефіцієнти загасання і фази (α , β ), так і через тангенс кута втрат

(tgδ ) із урахуванням того, що εka = εa (1− jtgδ ) :

103

Коефіцієнт фази β показує зміну фази хвилі при проходженні 1 м відстані і дорівнює уявній частині коефіцієн- та поширення p .

Коефіцієнт загасання α визначає зменшення амплітуди хвилі при проходженні 1 м відстані і дорівнює дій- сній частині коефіцієнта поширення p .

Знайдемо α і β із загального виразу для коефіцієнта

поширення (3.18), проробивши ряд нескладних тригонометричних операцій:

Віднімемо і додамо вирази (3.19) і (3.20):

(α 2 + β 2 )- (α 2 - β 2 ) = 2β 2 = ωc22 εμ (1+ tg2δ )+ ωc22 εμ =

104

(α 2 + β 2 )+ (α 2 − β 2 ) = 2α 2 = ωc22 εμ (1+ tg2δ )− ωc22 εμ =

хвилі постійної фази. Фазова швидкість визначається за формулою

Довжина хвилі λ – відстань, пройдена хвилею вздовж її руху за період коливання T (тобто відстань, на якій фаза хвилі зміниться на 2π ):

Хвильовий опір Zхв – це відношення комплексної ам-

плітуди напруженості електричного поля хвилі до ком- плексної амплітуди напруженості магнітного поля хвилі:

Використовуючи визначення хвильового опору середовища, співвідношення (3.17) можна записати у такому вигляді:

E = Em e−α z cos(ω t − β z) ,

H = E∙ m e−α z cos(ω t − β z −ϕ ) ,

Z хв

105

∙

де Z хв та ϕ – модуль і фаза комплексного значення хви-

льового опору середовища відповідно.

Глибина проникнення хвилі – відстань уздовж на-

прямку поширення хвилі, при проходженні якої амплітуда

→→

падаючої хвилі ( E або H ) слабшає у e = 2,72 разу, тобто

E e−α z = =

E e−α (z+Δ) e 2,72.

Візьмемо логарифм від цього виразу і отримаємо

α (z + − z) =1. Звідси

Основні параметри хвилі (3.18), (3.21)-(3.26) у значній мірі визначаються типом середовища, у якому відбуваються електромагнітні процеси. На практиці умовно прийнято підрозділяти середовища на наступні різновиди залежно від параметрів ε , μ , γ і tgδ : вакуум, ідеальний діелект-

рик, діелектрик з малими втратами (тефлон, фторо-

пласт, полікор та ін. – використовуються у техніці НВЧ), провідне середовище (ідеальний провідник – теоретичний термін).

Розглянемо коротко параметри хвилі в перерахованих середовищах, які дозволяють також визначити їхні властивості для практичних застосувань.

Вакуум – ε =1; μ =1; tgδ =0. При даних параметрах середовища з (3.21) - (3.26) випливає:

Із цих співвідношень випливають наступні властивості плоских однорідних хвиль у вакуумі:

106

–відсутність загасання;

–незалежність швидкості поширення від частоти;

–рівність швидкості поширення хвиль у вакуумі і швидкості світла;

–хвильовий опір є константою.

Таким чином, коефіцієнт загасання в діелектрику із малими втратами залежить від питомої провідності діелектрика.

Діелектрики з малими втратами, які широко викорис-

товуються у техніці НВЧ (поліетилен, фторопласт, кераміка та ін.), мають значення tgδ <10−2 . Для розрахунків ос-

новних характеристик поля в цих середовищах застосовуються ті ж самі співвідношення, що і для ідеального діе-

108

– реактивна і активна складові хвильового опору рівні між собою;

→ →

– вектор H відстає за фазою від вектора E на кут 45°;

– амплітуда хвиль вздовж напрямку поширення швидко зменшується.

3.3 Поляризація, відбиття і переломлення електромагнітних хвиль

Поляризацією плоскої хвилі називається зміна зна-

чення і напрямку вектора напруженості електричного по-

→

ля E в точці спостереження за період коливання хвилі. Розрізняють три види поляризації хвиль:

–лінійну;

–колову;

–еліптичну.

Оскільки будь-яка електромагнітна хвиля може бути подана як накладення (суперпозиція) хвиль, які поширюються самостійно одна від одної, то залежно від зсуву фаз ϕ між ними сумарний вектор напруженості електричного

→

поля E в площині, яка перпендикулярна до напрямку поширення хвилі, буде описувати пряму при ϕ =0° (лінійна поляризація), коло при ϕ =90° (колова поляризація) або еліпс при 0°<ϕ <90° (еліптична поляризація).

→

Для лінійно поляризованої хвилі вектор E у площині,

перпендикулярній до поширення хвилі (площина x0y ),

описує пряму лінію (рис. 3.3 а, б). Площина, у якій відбува-

ється зміна амплітуди хвилі, називається площиною поляризації. Кут, під яким нахилена площина поляризації до горизонтальної осі x , називається кутом поляризації ψ .

110

така поляризація називається лівою, якщо проти годинникової стрілки – правою.

Приклад практичного визначення виду поляризації плоскої хвилі описано в лабораторній роботі 3 у додатку Б.

Хвилі на поверхні поділу двох середовищ залежно від їх параметрів можуть або повністю відбиватися, або, частково відбиваючись, заломлюватися і проходити у друге середовище. У першому наближенні (без урахування явища дифракції) поведінку хвиль на поверхні поділу двох середовищ можна описати виходячи із законів променевої оптики [15] з урахуванням їх поляризації.

Так, наприклад, якщо електромагнітна хвиля падає на поверхню поділу двох діелектриків під кутом ϕ , то частина її відіб'ється, а частина – заломиться і буде поширюватися в другому середовищі під кутом θ . Згідно із закона-

ми Снеліуса [16]: кут падіння електромагнітної хвилі дорівнює куту відбиття, а відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення – величина постійна, що дорівнює відношенню показника заломлення n2 другого середо-

вища до показника заломлення n1 першого середовища:

ючої хвилі Eпад зв'язана через коефіцієнт відбиття kв :

∙

даючої хвилі Eпад зв'язана через коефіцієнт заломлення

∙

kп :