Комбинаторика

Департамент образования Кировской области Кировское областное государственное образовательное автономное учреждение среднего профессионального образования

«Колледж промышленности и автомобильного сервиса»

Математика

Учебное пособие по изучению темы «Комбинаторика» для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования

Киров, 2011

1

Составитель: Крупина И.Е.,преподаватель КОГОАУ СПО «Колледж промышленности и автомобильного сервиса»

Рецензенты: Храпунова А.Р., преподаватель математики КОГОАУ СПО «Колледж промышленности и автомобильного сервиса»

2

Пояснительная записка

Комбинаторика представляет собой важный раздел дискретной математики. Она рассматривает возможные расположения, упорядочения или выбора элементов некоторого множества. Это зрелая наука, которая имеет свой предмет изучения, свою структуру, свои отработанные методы. Кратчайший и наиболее эффективный путь её познания проходит через рассмотрение разнообразных ситуаций, благодаря чему новые положения вводятся вполне естественно.

Комбинаторика тесно связана с целым рядом областей математики: теорией вероятности, теорией графов, теорией чисел, а также с прикладными науками – программированием, кодированием информации и т.д. Знание комбинаторики необходимо представителям самых разных профессий. С комбинаторными задачами приходится иметь дело физикам, химикам, биологам, техникам. Данный курс даёт сумму знаний, которой вполне достаточно для решения практических задач.

Цели изучения темы:

∙углубление знаний студентов;

∙овладение конкретными математическими понятиями;

∙воспитание у студентов интереса к математике;

∙развитие интуиции, логического и вероятностного мышления;

∙знакомство с историей развития математики.

Задачи изучения темы:

∙познакомить студентов с основными понятиями комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания;

∙развить вычислительные навыки студентов.

В результате изучения темы студент должен:

Знать:

∙основные понятия,

∙понятия перестановки, размещения, сочетания;

3

∙формулу бинома Ньютона, свойства биноминальных коэффициентов, треугольник Паскаля.

Уметь:

∙уметь находить факториал числа, решать примеры с факториалами;

∙уметь решать стандартные комбинаторные задачи;

∙уметь применять формулу бинома Ньютона.

Тематическое планирование

Тема рассчитана на 12 часов.

Содержание.

1.Введение в комбинаторику. Танграм. Методы решения комбинаторных задач. (2 часа)

Основные понятия теории множеств: объединение, пересечение, произведение. Виды комбинаторных задач. Правило суммы и произведения. Магические и латинские квадраты.

2.Основные понятия комбинаторики. (6 часов)

Перестановки. Понятие факториала. На простых примерах демонстрация решения комбинаторных задач методом перебора возможных вариантов, иллюстрация этого метода с помощью дерева возможных вариантов.

Размещения без повторений. Размещения с повторениями.

4

Сочетания без повторений. Сочетания с повторениями. Определения и свойства сочетаний, рекуррентная формула для вычисления сочетаний.

3. Приложения комбинаторики. (4 часа)

Треугольник Паскаля. Бином Ньютона.

Знакомство с биографиями учёных. Студенты должны научиться пользоваться треугольником Паскаля при возведении бинома в натуральную степень. Знать свойства бинома Ньютона.

Начальные сведения из теории вероятностей. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятности с помощью формул комбинаторики.

Рекомендуемая литература

Антипов И.Н., Виленкин Н.П. и др. Избранные вопросы математики. Факультативный курс. М. Просвещение. 1983.

Антипов И.Н, Березин В.Н. и др. Методика факультативных занятий в 9- 10 классах. М. Просвещение. 1983.

Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С. и др. Алгебра и математический анализ. М. Мнемозина. 2004.

5

Введение в комбинаторику. Танграм. Методы решения комбинаторных задач.

Что изучает комбинаторика?

При решении многих практических задач приходится выбирать из некоторой совокупности объектов элементы, располагая их в определённом порядке.

Например:

1)5 друзей решили сфотографироваться. Сколькими способами они могут сесть?

2)В столовой колледжа имеются 2 салата, 3 вторых, 4 напитка. Сколько вариантов обедов можно составить?

3)В группе 25 студентов. На конкурс нужно выбрать 2 человека. Сколькими способами это можно сделать?

4)В басне И.А. Крылова «Квартет»:

Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?

В этих задачах речь идёт о комбинациях объектов. Такие задачи называются комбинаторными.

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчинённых тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова combina - сочетать, соединять. Комбинаторика занимается различного рода сочетаниями (соединениями), которые можно образовать из элементов некоторого конечного множества.

Выбором объектов и их расположением приходится заниматься чуть ли не во всех областях человеческой деятельности – конструктору, учёномугенетику, агроному, составителю кодов, лотерей, химику, комбинаторные задачи

6

применяются при игре в шашки, шахматы, при подсчёте вариантов в теории вероятностей и т.д.

1.Исторический обзор.

Скомбинаторными задачами люди сталкивались с глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением математических головоломок (магические квадраты), в Древней Греции составляли геометрические головоломки на разрезание и складывание фигур (до наших дней дошла головоломка «Пифагор»).

Термин «комбинаторика» был введён в математический обиход

Лейбницем.

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц

(1646 - 1716 гг.) немецкий философ и математик.

Многие называют его последним ученым эпохи Возрождения, или первым ученым эпохи Просвещения. До наших дней никто иной не сочетал столь яркий математический талант с такой широтой гуманитарных склонностей. В этом отношении Лейбница можно сравнить с Аристотелем, с Леонардо да Винчи или Рене Декартом. В 8 лет он самостоятельно изучил латынь, а еще через два года —

древнегреческий язык. Тяга к экзотическим языкам не исчезла и позднее: познакомившись с элементами персидского языка и хинди, Лейбниц одним из первых высказал догадку об индоевропейской языковой общности, за которой скрываются какие-то переселения древнейших народов.

7

∙Лейбниц, наряду с Ньютоном, создатель математического анализа — дифференциального и интегрального исчисления.

∙Лейбниц также ввёл бинарную систему счисления с цифрами 0 и 1, на котором базируется современная компьютерная техника.

∙Лейбниц создал механический калькулятор, выполняющий сложение, вычитание, умножение и деление чисел. Машина была продемонстрирована во Французской академии наук и лондонском Королевском обществе.

∙В 1666 г. он опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве», в которой рассмотрел вопросы сочетаний элементов, рассмотрел применение комбинаторики в арифметике, логике, в стихосложении. В течение своей жизни Лейбниц неоднократно обращался к вопросам комбинаторики. Мечтой его жизни, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались многие выдающиеся ученые-математики. В 1713 г. было опубликовано сочинение Якова Бернулли «Искусство предположений», в котором с достаточной полнотой были изложены и обобщены известные к тому времени комбинаторные факты. Это сочинение отличалось полнотой и строгостью изложения, доступностью. Оно являлось учебно-справочным изданием по комбинаторике на протяжении двух столетий.

Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о

8

Леонард Эйлер (1707 - 1783 г.г.) — выдающийся математик, родился в Швейцарии, жил и работал в России. Внёс значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер принадлежит к числу гениев, чьё творчество стало достоянием всего человечества. До сих пор школьники всех стран изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. Студенты проходят высшую

математику по руководствам, первыми образцами которых явились классические монографии Эйлера.

ВXX веке комбинаторика подверглась мощному процессу алгебраизации благодаря работам Дж. К. Рота, а затем Р. Стенли.

Внастоящее время комбинаторику начинают изучать с начальной

школы.

2.Геометрические комбинации

Танграм – древнекитайская головоломка. Это квадрат, разрезанный определённым образом на 7 частей.

9