Комбинаторика
.pdf
3. Методы решения комбинаторных задач Задача. Дано множество чисел {1,2,3,4}. Составить:
а) двузначные числа, б) четырёхзначные числа Решение: Метод перебора: двузначные числа – 12, 13, 14,
21, 23, 24, 31, 32, 34,
41, 42, 43. Всего 12 чисел.
«Дерево вариантов»:
1234
1243
1324 6 чисел
1342
1423
1432
Всего четырёхзначных чисел 4∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24
Упражнения
1. Коля, Боря, Вова и Юра заняли 1, 2, 3 и 4 место на соревновании. Известно, что у Коли ни 1, ни 4 место. Боря занял 2 место. Вова не последний. Какое место у каждого мальчика?
|
1 |
2 |
3 |
4 |
Коля |
- |
- |
+ |
- |
Боря |
- |
+ |
- |
- |
Вова |
+ |
- |
|
- |
Юра |
- |
- |
- |
+ |
11
2. Петя и Вася пишут контрольную по математике. Каждый может получить любую из оценок 2,3,4,5. Сколько существует вариантов получения
ими оценок? |
|
|
|
П2 В2 |
П2 В3 |
П2 В4 |
П2 В5 |
П3 В2 |
П3 В3 |
П3 В4 |
П3 В5 |
П4 В2 |
П4 В3 |
П4 В4 |
П4 В5 |
П5 В2 |
П5 В3 |
П5 В4 |
П5 В5, всего 16 вариантов. |
∙ Решить задачи:
1)Сколькими способами можно выложить в ряд 2 белых и 2 чёрных
шарика?
2)В вазе лежат яблоко, груша, персик и абрикос. Маше разрешили взять два каких-либо фрукта. Сколько у Маши вариантов выбора?
3)У Ани 4 платья и 3 пары туфель. Собираясь на вечеринку, она думает, что бы ей надеть. Сколько всего у Ани вариантов?
4)В Норильске, Москве, Ростове и Пятигорске живут 4 супружеские пары. Имена этих супругов: Антон, Борис, Давид, Григорий, Ольга, Мария, Светлана, Екатерина. Известно, что
- Антон живёт в Норильске; - Борис и Ольга супруги;
- Григорий и Светлана не живут в одном городе4 - Мария живёт в Москве; - Светлана – ростовчанка.
Кто на ком женат и кто где проживает?
12
5)Имеются ткани 3 цветов. Сколько можно сшить флажков с тремя
различными |
горизонтальными |
полосами? |
6) Фамилии четырёх друзей: Иванов, Петров, Семёнов, Николаев, а их имена: Иван, Пётр, Семён, Николай. Известно, что только у Николаева имя совпадает с фамилией; Семёнова зовут не Петром. Определите имена и фамилии друзей.
|
Иван |
Петр |
Семён |
Николай |
Иванов |
- |
+ |
- |
- |
Петров |
- |
- |
+ |
- |
Семёнов |
+ |
- |
- |
- |
Николаев |
- |
- |
- |
+ |
Правило произведения
Теорема: Если множество А состоит из m элементов, а множество В – из n элементов, то число различных пар равно m ∙ n
Задача 1. Имеются 4 вида конвертов без марок и 5 видов марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку?
Решение: 4 ∙ 5 = 20 Задача 2. В магазине имеются 7 видов пиджаков, 5 видов брюк и 4 вида
галстуков. Сколькими способами можно купить пиджак, брюки и галстук? Решение: 7∙ 5 ∙ 4 = 140
13
Магические квадраты
МагиCческий, или волшебный квадрат — это квадратная таблица 
, заполненная числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях оказывается одинаковой.
Нормальным называется магический квадрат, заполненный целыми числами от 1 до n2.
Магические квадраты существуют для всех порядков 
, за исключением n = 2.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях, называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
Первые значения магических констант приведены в следующей таблице:
|
Порядок n |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
|
M (n) |
15 |
34 |
65 |
111 |
175 |
260 |
369 |
505 |
671 |
870 |
1105 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
9 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
1 |
6 |
|
||
14
Единственный нормальный магический квадрат 3×3 был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 до н.э.
Магический квадрат третьего порядка существует всего один, все остальные магические квадраты 3-го порядка получаются из него же поворотом.
4 
9 
2
3 5 7
8 
1 
6
Самый ранний уникальный магический квадрат 4 × 4 обнаружен в надписи XI века в индийском городе Кхаджурахо. Всего их существует 880.
7 |
12 |
1 |
14 |
2 |
13 |
8 |
11 |
16 |
3 |
10 |
5 |
9 |
6 |
15 |
4 |
Если в квадратную матрицу n × n заносится не строго натуральный ряд чисел, то данный магический квадрат - нетрадиционный. Ниже представлены два таких магических квадрата, заполненные в основном простыми числами. Первый имеет порядок n=3 (квадрат Дьюдени); второй (размером 4x4) - квадрат Джонсона. Оба они были разработаны в начале двадцатого столетия:
|
67 |
|
1 |
|
43 |
|
|
3 |
61 |
19 |
37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
37 |
|
61 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
43 |
31 |
5 |
41 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
31 |
|
73 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
11 |
73 |
29 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
67 |
17 |
23 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15
Построение магических квадратов
Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Рассмотрим метод террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка.
С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата.
|
|
5 |
|
|
|
|
4 |
10 |
|
|
3 |
9 |
15 |
|
|
2 |
8 |
14 |
20 |
1 |
7 |
13 |
19 |
25 |
|
6 |
12 |
18 |
24 |
|
11 |
17 |
23 |
|
|
|
16 |
22 |
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
11 |
7 |
3 |
|
16 |
12 |
8 |
|
4 |
21 |
17 |
13 |
9 |
5 |
22 |
18 |
14 |
|
10 |
|
23 |
19 |
15 |
|
|
24 |
20 |
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
Рис. 2 |
|
|
16
3 
16 
9 
22 
15 
20 
8 
21 
14 
2 
7 
25 
13 
1 
19 
24 
12 
5 
18 
6 
11 
4 
17 
10 
23 
Рис. 3
11 |
24 |
7 |
20 |
3 |
4 |
12 |
25 |
8 |
16 |
17 |
5 |
13 |
21 |
9 |
10 |
18 |
1 |
14 |
22 |
23 |
6 |
19 |
2 |
15 |
|
|
|
|
|
Рис. 4
Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до
n2), но и квадрат, заполненный любыми другими |
|
|
|
|
|
числами, лишь бы разность между каждым |
6 |
32 |
18 |
44 |
30 |
последующим и предыдущим числом была |
40 |
16 |
42 |
28 |
4 |
|
|
|
|
|
|
постоянной. Так, на рис. 5 вы видите |
14 |
50 |
26 |
2 |
38 |
нетрадиционный магический квадрат пятого |
|
|
|
|
|
48 |
24 |
10 |
36 |
12 |
|
порядка, заполненный чётными числами от 2 до |
|
|
|
|
|
22 |
8 |
34 |
20 |
46 |
|
50, построенный методом террас. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 5
Латинские квадраты
Латинским квадратом n × n называется квадрат, в каждой строке и в каждом столбце которого находятся числа от 1 до n. Задачей отыскания латинских квадратов занимался Леонард Эйлер.
1 |
2 |
3 |
. |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
|||||
3 |
1 |
2 |
|
||||
|
2 |
1 |
4 |
3 |
|||
2 |
3 |
1 |
|
||||
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
|
|
|
17 |
|
|
|
В качестве примера, приводящего к латинским квадратам, рассмотрим упрощенную задачу о составлении расписания. Пусть пять преподавателей Pi ( i = 1, 2, ..., 5) колледжа в течение пяти последовательных уроков должны провести занятия в пяти группах Kj ( j = 1, 2, ..., 5). При этом каждый из преподавателей обязан дать один урок в каждой группе. В этой ситуации оказывается, существует 1344 возможных различных расписаний. Ниже приведено одно из них:
|
К1 |
К2 |
К3 |
К4 |
К5 |
|
|
|
|
|
|
Р1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
Р2 |
2 |
1 |
4 |
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
Р3 |
3 |
4 |
5 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
Р4 |
4 |
5 |
1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Р5 |
5 |
3 |
2 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
Упражнения
1)составьте магический квадрат 3 × 3
2)составьте латинский квадрат 3 × 3
3)составьте латинский квадрат 4 × 4
4)составьте магический квадрат 7 × 7
5)В футбольной команде 11 человек. Нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
6)Король решил выдать замуж трёх дочерей. На смотр явились 100 женихов. Сколькими способами дочери короля могут выбрать себе жениха?
18
Основные понятия комбинаторики.
1.Факториал числа
Факториал – так называют часто встречающуюся в практике функцию, определённую для целых неотрицательных чисел. Название функции происходит от английского математического термина factor – «сомножитель».
Обозначается она n!.
Знак факториала «!» был введён в 1808 году во французском учебнике Хр. Крампа.
Для каждого целого положительного числа n функция n! равна произведению всех целых чисел от 1 до n.
n! = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ … ∙ n
Для удобства полагают по определению 0! = 1. О том, что 0! должен быть по определению равен единице, писал в 1656 году Дж. Валлис в «Арифметике бесконечных».
Функция n! растёт с увеличением n очень быстро.
1!=1,
2!=2,
3!=6,
4!=24,
5!=120,
…..
10!=3 628 800.
При преобразовании выражений, содержащих факториал, полезно использовать равенство
(n + 1)! = (n + 1) • n! = (n + 1) • n • (n – 1)!
Упражнения
Вычислить:
1) |
10! |
3) |
|
8!− 7! |
||
8! |
7! |
|||||
|
|
|||||
2) |
|
11! |
4) |
4!+ 5! |
||
5!×6! |
5!- 4! |
|||||
|
|
|||||
19
Упростить выражение:
1) |
(m + 3)! |
||
m! |
|||
|
|||
2) |
n! |
||
(n − 1)! |
|
||
Решить уравнение:
1) (m + 2)! = 72 m!
(m − 1)!
3) (m − 3)!
4) 8!b − 7!a
7!
2) (k + 1)! = 30 (k − 1)!
(к − 2)! = 12 (к − 4)!
1.В группе, в которой 25 студентов, нужно выбрать старосту, культорга и физорга. Сколькими способами это можно сделать?
2.«Любовь без взаимности». Трое юношей: Коля, Петя и Юра влюблены в трёх девушек - Таню, Зину и Галю. Но эта любовь без взаимности.
Коля любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Зину; Петя любит девушку, влюблённую в юношу, который любит Галю; Зина не любит Юру. Кто в кого влюблён?
2.Перестановки из п элементов
Вбасне И.А. Крылова «Квартет» Проказница-мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка затеяли сыграть квартет. И так садились, и эдак, а толку нет… А сколько же способов их рассадить существует?
20