Тема 4 Формула Байеса, вероятность появления хотя бы одного события

Вопросы для самостоятельного изучения

1. Вероятность появления хотя бы одного события из независимых событий.

Пример 1. Для данного станка вероятность выйти из строя в определенный отрезок времени, равна 0,1, для другого – 0,2. Определить вероятность того, что в этот отрезок времени хотя бы один станок выйдет из строя (событие А).

Решение. Обозначим событие - выход из строя первого станка, тогда Р () = 0,1,

Р () = 0,9. Событие= выход из строя второго станка, тогда Р () = 0,2, Р () = 0,8.

Искомая вероятность

Р (A) = 1- P(,) = 1-P()P() = 1-= 1-0,90,8=1-0,72=0,28

Пример 2. Три электрические лампочки последовательно включены в цепь. Вероятность того, что одна (любая) лампочка перегорит, если напряжение в цепи превысит номинальное, равна 0,6. Определить вероятность того, что при повышенном напряжении тока в цепи не будет.

Решение. Тока в цепи не будет, если перегорит хотя бы одна лампочка – событие А.

Р(А) = 1 -

Р(А) = 1-= 1-0,064-0,936

2.Формула полной вероятности.

Пример 3. Изготовленные цехом детали попадают не проверку к одному из двух контролеров. Вероятность того, сто деталь попадет к первому контролеру, рана 0,3, а ко второму - 0,7. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной первым контролером, рана 0,95, а вторым – 0,98. Определить вероятность того, что извлеченная годная деталь будет признана стандартной.

Решение. Событие – деталь признана стандартной обозначим А. Можно сделать два предположения: 1. деталь проверил первый контролер – событие ; деталь проверил второй контролер – событие.

Тогда Р() = 0,3; Р() = 0,7.

Условные вероятности события А будут Р() = 0,95, Р () = 0,98.

Искомая вероятность того, что извлеченная годная деталь признана стандартной, равна

р(А) = P()P() +P()P() = 0,30,95+0,70,98 = 0,971

3. Вероятность гипотез. Формула Байеса

Пример 4. Рассмотрим данные предыдущей задачи. Пусть событие А наступило, т.е. деталь признана стандартной. Определить вероятность того, что эту деталь проверил: а) первый контролер; б) второй контролер.

Решение. Подставим данные задачи в формулу Байеса.

а) P() == 0,29;

б) P() == 0,71.

Как видим, до испытания вероятность гипотезы равнялась 0,3, а- 0,7. После того, как стал известен результат испытаний, вероятности гипотез стали 0,29 и 0,71. Таким образом, использование формулы Байеса позволило переоценить вероятности рассматриваемых гипотез.

Практическое задание для самостоятельной работы

1) В некоторый период времени относительная частота солнечных дней составила 0,6. Сколько дней было пасмурных, если солнечных дней было 42?

2) Относительная частота попадания у данного стрелка оказалась равной 0,9. Сколько он произвел выстрелов, если промахнулся 9 раз?

3) Через остановку проходят автобусы маршрутов №2,5,6,8,20. Пассажира устраивают маршруты №5 и №8. Определить вероятность того, что первый подошедший к остановке автобус будет нужного маршрута, если известно, что второго маршрута 8 машин, пятого – 15, шестого – 12, восьмого – 10, двадцатого – 5.

4) В ящике 50 одинаковых жетонов, помещенных номерами от 1 до 50. определить вероятность того, что наудачу вынутый жетон окажется с номером, сумма цифр которого окажется 7, либо 9, либо 11.

5) Вероятности пятилетней службы каждой из трех деталей механизма равны 0,5; 0,6; 0,7. Определить вероятность того, что механизм в целом прослужит пять лет.

6) Для одного рабочего вероятность выполнить норму выработки равна 0,9, для другого – 0,85. Определить вероятность того, что оба рабочих не выполнят норму выработки.

7) Рабочий за смену изготовил 15 деталей высшего и 6 деталей высшего сорта. Случайным образом последовательно извлекаются две детали. Найти вероятность:

- что обе детали окажутся первого сорта;

- одна деталь высшего сорта, другая первого сорта.

8) Из трамвайного парка в случайном порядке последовательно выходят 3 трамвая маршрута №1 и 4 трамвая маршрута №2. Определить вероятность того, что вторым по порядку выйдет трамвай маршрута №2.

9) Два игрока бросают по одному игральному кубику. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из кубиков выпадет число очков, кратное трем.

10) Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить три бомбы, вероятности попаданий которых соответственно равны 0,3; 0,4; 0,6.

11) Сколько раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью 0,9375 можно было утверждать, что хотя бы один раз выпадет герб?

12) В начале учебного года в группе по списку было 30 студентов. Из них 20 получили стипендию. В середине семестра один студент взял академический отпуск. Определить вероятность того, что случайно отобранный после этого студент окажется стипендиатом.

13) В ящике содержится 12 деталей завода №1, 20 деталей завода №2 и 18 деталей завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества равна 0,9; для деталей завода №2 и №3 эти вероятности, соответственно, равны 0,6 и 0,9. Определить вероятность того, что наудачу извлеченная деталь окажется отличного качества.

14) На склад готовой продукции поступили изделия из трех цехов: 30% - из первого, 45% - из второго и 25% - из третьего. Среди изделий первого цеха брак составляет в среднем 0,6%, второго – 0,4% и третьего – 0,16%. Определить вероятность того, что взятое наудачу на складе изделие окажется годным.

15) В группе 25 студентов, из них десять – выпускники вечерней школы, а остальные окончили среднюю школу. Вероятность успешной сдачи экзамена по статистики выпускником вечерней школы равна 0,8, а выпускником средней школы – 0,9. Наудачу вызванный студент сдал экзамен успешно. Определить вероятность того, что это выпускник вечерней школы.

16) В железнодорожном составе 50 вагонов, груженных углём двух сортов, в том числе 25 вагонов содержат 70% угля первого сорта; 15 вагонов содержат 60% и 10 вагонов – 85% угля второго сорта. Случайно взятый для анализа кусок оказался второго сорта. Определить вероятность того, что он взят из вагона первой группы.

17) На двух станках производятся одинаковые детали. Вероятность того, что деталь первого станка стандартна, равна 0,9, второго 0,8. Производительность первого станка вдвое больше производительность второго. Деталь взятая наудачу с транспортера, на который сбрасываются детали с обоих станков, оказалась стандартной. Определить вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке.

Рекомендуемая литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.

2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.