Тема 2 Основные формулы для вычисления вероятностей
Вопросы для самостоятельного изучения
1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
Пример 1. Мишень состоит из трех зон. Для данного стрелка вероятность попасть в первую зону равна 0,18, во вторую зону – 0,24, в третью зону – 0,33. Определить вероятность поражения мишени при одном выстреле.
Решение. Мишень
будет поражена, если стрелок попадет
или в первую (событие) или во вторую
(событие A
)
или в третью (событиеA
)
зону, т.е. надо вычислить
P
(
+
+
)=P
(
)
+P
(
)
+P
(
)
= 0,18+ 0,24+0,33=0,75.
Рекомендуемая литература
Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.
Тема 3. Основные теоремы теории вероятностей: сложение, умножение, формула полной вероятности
Вопросы для самостоятельного изучения
1. Теорема умножения вероятностей для независимых событий.
Пример 1 . В двух ящиках содержится по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором 9 деталей высшего качества. Из каждого ящика на удачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что обе детали высшего качества.
Решение. Вероятность того, что из первого ящика вынута деталь высшего качества (событие А): P (А) = 8/10.
Вероятность того, что из второго ящика вынута деталь высшего качества (событие В): P (А) = 9/10.
Т.к. событие
и
независимые, то искомая вероятность
определяется по теореме умножения
вероятностей:
P
(А В) = P
(А)
P(В)
=
=
0,72.
Пример 2. Рабочий обслуживает три станка. Для первого станка вероятность того, что он в течении часа потребует внимания рабочего, равна 0,4, для второго – 0,3, для третьего – 0,2. Определить вероятность того, что в течение часа только один станок потребует внимания рабочего.
Решение.
По условию задачи имеем P
(
)
= 0,4;P
(
)
= 0,5;P
(
)
= 0,3;P(
)
= 0,7;P
(
)
= 0,2;P
(
)
= 0,8.
Событие В
- потребует внимания рабочего первый
станок, равносильно появлению события
(появилось
первое и не появилось второе и третье
события) - В
=
,
аналогично В
=
,
В
=
.
Таким образом, чтобы найти вероятность того, что только один станок потребует внимания рабочего, будем искать вероятность:
P
(В
+
В
+ В
)
=P
(
+
+
)
=
P
(А
)
P
(
)
x
P(
)
+ (
)
P
(А
)
P (
)
+
P(
)
P(
)
P(
)=0,4
0,7
0,8+0,6
0,3
0,8+0,6
0,7
0,2=0,224+0,144+0,084=
0,452.
События В
,
В
,
В
-
несовместимы, к ним применили теорему
сложения вероятности, а т.к. события
,
,
-
независимые, применили теорему
вероятностей для независимых событий.
2. Теорема умножения вероятностей для зависимых событий.
Пример 3. В ящике находится 8 стальных, 7 латунных и 6 медных заклепок. Определить вероятность того, что две последовательно взятые заклепки будут сделаны из одного металла.
Решение. Обозначим событие – появление двух стальных заклепок –А, появление двух латунных – В, появление двух медных – С. Требуется определить Р (или А. или В, или C).
Событие А состоит в последовательном появлении двух латунных заклепок
Вероятность того,
что первая заклепка стальная (событие
A
)P
(А
)
= 8/20. Вероятность того, что вторая заклепка
также стальная ( событие
)P
(
/
)
= 7/19. Аналогично рассуждаем для латунных
(событие В) и медных заклепок (событие
С).
P
(В
)
= 7/20;P
(В
/
В
)
= 6/19;
P
(С
)
= 5/20;P
(С
/
С
)
=4/19.
Тогда искомая
вероятность р (или А или В или С) = P(А
А
или В
В
или С
С
),
т.к. события А,В и С несовместные, к ним
применима теорема сложения вероятностей:P
(или А или В или С) = P
(А
)
P
(
/А
)
+P
(В
)
P
( В
/
В
)
+P
(С
)
P
(С
/
С
)
=
+
+
=
=
0,31.
Рекомендуемая литература
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. Учебник. Издание восьмое, стереотипное. – М.: Высшая школа, 2002 г. - 575 с.
2. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей и её инженерные приложения. Учебное пособие. Издание третье, переработанное и дополненное. – М.: «Академия», 2003 г. – 464 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.