Математическая статистика
Тема № 14 Генеральная и выборочная совокупности
Вопросы для самостоятельного изучения
1. Выборочный метод.
Пример 1.
Для выявления доли (удельного веса)
простаивающих станков было взято на
выборку 100 станков. Простаивающих
станков оказалось 20. с надежностью 0,99
оценить доверительный интервал, в
котором окажется доля
простаивающих станков во всей совокупности
станков.
Найдём долю простаивающих станков в выборочной совокупности
Определим предельную ошибку выборки
Доверительные
интервалы доли простаивающих станков
во всей совокупности станков будут
,
подставляем
Чаще интервалы для доли вычисляются в процентах, тогда
Т.е. с надёжностью 0,99 доля простаивающих станков во всей совокупности будет заключена в пределах доверительного интервала от 0,97% до 30,3% всех станков.
Пример 2. Имеются данные о производительности труда 100 ткачих фабрики, на которой работают 1000 ткачих.
|
Выработано ткани, м |
20-24 |
24-28 |
28-32 |
32-36 |
36-40 |
40-44 |
|
Число ткачих |
9 |
12 |
36 |
27 |
10 |
6 |
Определить: 1) доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9973 заключена средняя выработка одной ткачихи фабрики;
2) доверительный интервал, в котором с надежность 0,9545 заключена доля ткачих, имеющих выработку 36 метров и более;
3) вероятность того, что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средней выработки обследованных ткачих не более чем на 0,8 м по абсолютной величине.
Решение: Вычислим характеристики выборочной совокупности:
выборочную среднюю
-
выборочную дисперсию
-
Все необходимые расчеты приведены в таблице:
|
Выработка ткани, м |
|
|
|
|
|
|
|
20-24 |
22 |
9 |
198 |
-9,4 |
88,36 |
795,24 |
|
24-28 |
26 |
12 |
312 |
-5,4 |
29,16 |
349,92 |
|
28-32 |
30 |
36 |
1080 |
-1,4 |
1,96 |
70,56 |
|
32-34 |
34 |
27 |
918 |
2,6 |
6,76 |
182,52 |
|
36-40 |
38 |
10 |
380 |
6,6 |
43,56 |
435,60 |
|
40-44 |
42 |
6 |
252 |
10,6 |
112,36 |
674,16 |
|
|
- |
100 |
3140 |
- |
- |
2508 |
Из таблицы имеем:
м;
м2
=5,008м,
1) При надёжности
,
коэффициент надежности
(таблица 2).
Для повторного отбора
=
Доверительный
интервал для генеральной средней
При
повторном отборе
м
Для
бесповторного отбора
м
С надёжностью 0,9973 можно утверждать, что средняя выработка одной ткачихи фабрики (генеральная средняя) будет изменяться при повторном отборе от 29,898 м и до 32,902 м, а при бесповторном отборе от 29,975 м до 32,825 м.
2) Выборочная дисперсия по доле
При
,
коэффициент надежности
(таблица 2).
Предельные ошибки:
для повторного
отбора
=
=
для бесповторного отбора
Доверительный
интервал для доли:
для повторного
отбора
или
для бесповторного
отбора
или
С надежностью 0,9545 можно утверждать, что доля ткачих фабрики (генеральная доля), имеющих выработку 36 метров и более будет изменяться от 8,7% до 23,3% при повторном отборе и от 9,04% до 22,96% для бесповторного отбора.
3) Для определения
вероятности (надежности), что средняя
выработка одной ткачихи фабрики
отличается от средней выработки
обследованных ткачих не более чем на
0,8 м по абсолютной величине, используем
формулу теоремы Чебышева-Ляпунова
.
Значение
найдем
по формуле предельной ошибки выборки
для
бесповторного
отбора
.
Тогда имеем
По таблице №2
значение функции
находим
Окончательно
запишем
С вероятностью 0,9070 можно утверждать, что средняя выработка одной ткачихи фабрики отличается от средних обследованных ткачих не более чем на 0,08 м.
Задания для самостоятельной работы
1. В магазинах торга выборочным методом был подсчитан средний стаж работы 100 сотрудников. Оказалось, что он равен в среднем 10 годам при среднем квадратичном отклонении 3 года. Определить надежность, с которой можно утверждать, что отклонение полученной выборочной средней от генеральной средней не превысит 1 года
2. Обследуется содержание белка в привезенной на элеватор пшенице. В лабораторию взят для исследования 1 кг (1000 гр) зерен. Доля белка в этих зернах 0,17. С надежностью 0,9545 найти доверительный интервал, в котором заключена доля белка во всей пшенице.
3. Сколько рабочих – сдельщиков можно включить в выборку для определения средней выработки одного рабочего, чтобы предельная ошибка не превышала 2,5 ден. ед. с вероятностью 0,9973 при среднем квадратичном отклонении 15 д.е.
4. Был проведен выборочный опрос 25 студентов о распределении бюджета времени. Обследование показало, что в среднем ежедневные затраты времени на самостоятельную работу составляют 4 часа при среднем квадратичном отклонении 0,5 часа. Определить с вероятностью 0,9973 среднюю и предельную ошибки, а также доверительный интервал, в котором заключена генеральная средняя.
5. Для выявления удельного веса неработающих станков отобрано 100 станков. Неработающих оказалось 20. С надежностью 0,95 оценить доверительный интервал, в котором окажется доля неработающих станков во всей совокупности.
6. Сколько рабочих – сдельщиков можно включить в выборку для определения средней выборки одного рабочего – сдельщика, чтобы предельная ошибка не превышала 2,5 ден. ед., при среднем квадратическом отклонении 15 ден. ед.,..а надежность 0,9973
7. В магазинах коопторга выборочным методом был подсчитан средний стаж работы 100 продавцов. Оказалось, что он равен в среднем 10 годам при среднем квадратическом отклонении 3 года. С какой надежностью можно утверждать, что отклонение полученной выборочной средней от генеральной средней не превысит одного года.
8. Даны результаты обследования 100 взрослых мужчин по росту:
|
Рост, см |
164 - 166 |
166 - 168 |
168 - 170 |
170 - 172 |
172 - 174 |
174 - 176 |
|
Число мужчин |
2 |
8 |
14 |
45 |
26 |
5 |
Определить:
1)доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9973 заключен средний рост всех мужчин;
2)доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9545 заключена доля мужчин, имеющих рост 170см и более
9. Результаты выборочного наблюдения за обработкой рабочими одной детали даны в таблице:
|
Время обработки, мин. |
4.0 – 4.4 |
4.5 – 4.9 |
5.0 – 5.4 |
5.5 – 5.9 |
6.0 – 6.4 |
6.5- 6.9 |
|
Число работающих |
9 |
16 |
38 |
21 |
10 |
6 |
С вероятностью 0,9545 оценить:
1)среднее время обработки одной детали рабочими всего цеха, в котором работают 2000 рабочих;
2)долю рабочих всего цеха, обрабатывающих детали менее чем за 6 минут.
10. Даны результаты выборочного (бесповторного) обследования заработной платы 100 рабочих предприятия, на котором занято 1000 рабочих:
|
Зарплата, тыс.руб. |
2,1 – 2,3 |
2,3 – 2,5 |
2,5 – 2,7 |
2,7 – 2,9 |
2,9 – 3,1 |
3,1 – 3,3 |
3,3 – 3,5 |
|
Число рабочих |
4 |
9 |
20 |
35 |
19 |
8 |
5 |
Определить: 1)доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9545 заключена средняя заработная плата всех рабочих предприятия;
2)с вероятностью 0,9973 предельной доли рабочих, имеющих заработную плату менее 2,9 тыс. руб.
11. В результате обследования стажа работы сотрудников предприятия получены следующие данные:
|
Стаж работы, год |
2-6 |
6-10 |
10-14 |
14-18 |
18-22 |
22-26 |
26-30 |
|
Число работников |
I |
2 |
6 |
18 |
II |
9 |
3 |
Определить: 1) доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9973 заключен средний стаж работы сотрудников всего предприятия, на котором занято 1000 человек;
2)доверительный интервал, в котором с надежностью 0,9545 заключена доля сотрудников предприятия, имеющих стаж работы 10 лет и более.
Рекомендуемая литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.
Тема № 15 Интервальные оценки параметров распределения. Непрерывное и дискретное распределения признаков
Вопросы для самостоятельного изучения
1. Точечные оценки параметров распределения.
Контрольные вопросы
Дать определение точечной оценки
неизвестного параметра θ.Каким свойствам должна удовлетворять точечная оценка?
Рекомендуемая литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.
Тема № 16 Характеристики вариационного ряда
Вопросы для самостоятельного изучения
1. Вариационные ряды.
2. Построение интервального вариационного ряда.
3. Графическое изображение вариационных рядов.
4. Средние величины.
5. Медиана и мода.
6. Показатели вариации.
7. Свойства эмпирической дисперсии.
8. Эмпирические центральные и начальные моменты.
9. Эмпирические асимметрия и эксцесс.
Контрольные вопросы
1. Дать определение накопленной частости.
2. Дать определение интервального вариационного ряда.
3. Какие виды графического изображения вариационных рядов используются?
4. Для чего служит гистограмма?
5. Дать определение статистическим характеристикам вариационного ряда.
Рекомендуемая литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.
Тема № 17 Доверительные вероятности, доверительные интервалы
Вопросы для самостоятельного изучения
1. Доверительные вероятности, доверительные интервалы.
Контрольные вопросы
1. Дать определение доверительного интервала для параметра θ.
2. Дать определение доверительной вероятности.
Рекомендуемая литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.
Тема № 18 Регрессионный анализ, корреляционный анализ
Вопросы для самостоятельного изучения
1. О связях функциональных и статистических.
2. Определение формы связи. Понятие регрессии.
3. Основные положения корреляционного анализа.
4. Свойства коэффициента корреляции.
5. Поле корреляции. Вычисление оценок параметров двумерной модели.
6. Проверка гипотезы о значимости коэффициента корреляции.
7. Корреляционное отношение.
8. Понятие о многомерном корреляционном анализе.
9. Частный коэффициент корреляции.
Множественный коэффициент корреляции.
10. Ранговая корреляция.
11. Основные положения регрессионного анализа.
12. Линейная регрессия.
13. Нелинейная регрессия.
14. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Интервальная оценка коэффициентов регрессии.
15. Интервальная оценка для условного математического ожидания.
16. Проверка значимости уравнения регрессии.
17. Многомерный регрессионный анализ.
18. Факторный анализ.
19. Факторное отображение.
20. Определение факторных нагрузок.
21. Метод главных компонент.
Контрольные вопросы
1. Какими методами можно изучать статистические связи между переменными?
2. Какова основная задача корреляционного анализа?
3. Что является оценкой коэффициента корреляции?
4. Как строят корреляционную таблицу?
5. Что является оценкой частного коэффициента корреляции l-го порядка?
6. Дать определение множественного коэффициента детерминации.
7. Для чего служит коэффициент конкордации?
8. Какова основная задача регрессионного анализа?
9. Дать определение остаточной дисперсии.
10. Кто является одним из основоположников факторного анализа?
Рекомендуемая литература
1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учебное пособие. Издание десятое, стереотипное. - М.: Высшая школа», 2004 г. – 480 с.