Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
25
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
630.28 Кб
Скачать

РАЗДЕЛ. III. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Тема 7. Основные задачи аналитической геометрии

7.1. Типовые примеры Пример 7.1.1. Найти уравнения прямых, проходящих через точку

M (2,1) с:

1)направляющим вектором S =(1,3);

2)нормальным вектором N = (1,4);

3)с угловым коэффициентом k = −34 .

Решение. 1) Воспользуемся каноническим уравнением прямой с

x0 = 2,

y0 = −1, m =1, n =3. Получим

 

 

 

x 2

 

=

y +1

 

y 3x + 7 = 0.

 

1

 

 

 

 

3

 

 

2)

Воспользуемся уравнением

прямой с нормальным вектором, где

A = −1, B = 4.

 

 

 

 

Получим

 

 

 

 

 

1(x 2) + 4( y +1) = 0 4 y x + 6 = 0.

3) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через данную точку с

данным угловым коэффициентом. Получим

 

y +1 = −3

(x 2) 4 y + 3x 2 =0.

 

4

 

 

 

 

Пример 7.1.2. Найти уравнение

прямой, проходящей через две точки

M1 (1, 1) , M 2 (3, 4) . Найти отрезки, отсекаемые прямой на осях координат.

Решение. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две точ-

ки

x x0

=

y y0

,

 

 

x

x

 

y

y

 

1

0

 

1

0

 

где (x0 , y0 ) = (1, 1), (x1, y1 ) = (3, 4). Получим

27

 

x 1

=

y +1

 

 

 

 

x 1

=

y +1

5x 2 y 7 = 0.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3 1

4 +1

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Преобразуем это уравнение к виду уравнения прямой в отрезках, получим

 

5x 2 y = 7

 

5x

2 y =1

x

+

y

 

=1,

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

7

 

 

 

7

5

 

 

2

 

то есть, a = 7 , b = −

7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 7.1.3. Найти угол между прямыми 2x 3y 8 = 0 , x +8y +15 = 0 .

Решение. Угол α между прямыми равен углу между нормальными век-

торами к этим прямым: N1 = (2, 3) ,

N2 = (1,8) . Следовательно,

 

cosα =

 

N1 N2

=

 

2 1 + (3) 8

=

 

22

≈ −0,75.

 

 

 

 

 

 

4 + 9 1 + 64

 

845

 

 

 

N1

 

N2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знак cos α определяет величину угла, если cos α < 0 , то значит найден тупой угол α. Острый угол соответствует положительному значению косинуса. Следовательно,

α = arccos0,75 41 – острый угол,

180 − α = arccos(0,75) 139 – тупой угол.

Пример 7.1.4. Найти уравнения прямых, проходящих через точку

M (3,1) и:

1)параллельно прямой 2x 3y +1 = 0 ;

2)перпендикулярно прямой y = −4x + 2 ;

3)под углом 45 к Ox .

Решение. Чтобы найти уравнения прямых, надо воспользоваться условиями параллельности и перпендикулярности прямых:

1) найдем нормальный вектор данной прямой 2x 3y +1 = 0 : N = (2,3).

Так как искомая прямая параллельна данной прямой, то вектор N = (2, 3)

является нормальным для искомой прямой. Используя уравнение прямой с нормальным вектором, получим

28

2(x 3) 3( y +1) = 0, 2x 3y 9 = 0;

2) найдем угловой коэффициент данной прямой k1 = −4. Из условия пер-

пендикулярности прямых k1 k2 = −1 находим угловой коэффициент искомой

прямой

 

 

 

 

 

k2 = −

1

= −

1

=

1 .

 

4

 

k1

 

4

Найдем уравнение искомой прямой

 

 

 

y +1 =

1

(x 3) x 4 y 7

= 0

;

 

4

 

 

 

3) найдем угловой коэффициент искомой прямой

 

 

 

k = tg 45 =1.

 

 

Следовательно,

 

 

 

 

y +1 =1(x 3) x y 4 = 0 –

уравнение искомой прямой.

Пример 7.1.5. Найти уравнение плоскости, проходящей через точку

M (1,2,0) с заданным нормальным вектором N = (3, 1, 2).

Решение. Подставим в общее уравнение плоскости координаты точки M :

x0 =1, y0 = −2, z0 = 0 и координаты вектора N : A =3, B = −1, C = 2.

Получим 3(x 1) 1( y + 2) + 2(z 0) = 0 3x y + 2z 5 = 0 – общее

уравнение плоскости.

Пример 7.1.6. Найти уравнение плоскости, проходящей через три точки

M1 (2, 2,0) , M 2 (1, 1, 2) , M3 (0, 2,3) .

Решение. Так как нормальный вектор N перпендикуляр плоскости, то он перпендикуляр любым векторам, лежащим на плоскости, в частности векторам

Следовательно,

M1M2 =(1,1,2) , M1M3

 

=(2,4,3) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N = M1M2

× M1M3

 

 

1

2

 

,

 

1 2

 

,

 

1 1

 

 

= (5,

1,

2).

 

 

 

 

 

 

=

 

4

3

 

 

2 3

 

 

2 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение плоскости имеет вид

29

5(x 2) 1( y + 2) 2(z 0) = 0 5x + y + z 8 = 0.

Пример 7.1.7. Найти угол между плоскостями

2x y + z = 0 , x + 3y z + 2 = 0 .

Решение. Найдем нормальные векторы плоскостей N1 =(2,1,1) ,

N2 =(1,3,1) .

Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами

cosϕ=

 

N1

N2

=

2 3

1

=

2

≈ −0, 25.

 

N1

 

 

 

N2

 

4 +1 +1 1 +9 +1

66

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Острый угол между плоскостями равен

ϕ= arccos0,25 76 .

Пример 7.1.8. Найти уравнение прямой, проходящей через точку

M (1,0,3) параллельно вектору a =(2,1,1) .

Решение. Подставим в канонические уравнения прямой координаты точки M : x0 =1, y0 = 0, z0 = −3 и координаты направляющего вектора: m = 2, n =1, p = −1. Получим

x 21 = 1y = z+13 .

7.2.Контрольные вопросы

1)Что называется направляющим вектором прямой, нормальным вектором прямой, угловым коэффициентом прямой?

2)Какой вид имеет каноническое уравнение прямой?

3)Какой вид имеет уравнение прямой с нормальным вектором?

4)Какие уравнения прямой содержат угловой коэффициент?

5)Запишите уравнение прямой, проходящей через две точки.

6)Запишите уравнение прямой в отрезках.

7)Как найти точку пересечения прямых?

8)Как найти угол между прямыми?

9)Сформулируйте условия параллельности прямых.

10)Сформулируйте условия перпендикулярности прямых.

11)Как найти точку пересечения прямых?

12)Как найти расстояние от точки до прямой?

30