2)2a −3b;

3)a , направляющие косинусы вектора a, орт a0 .

4.3.3.Даны точки A(1,0,−2), B(0,−1,3), C(−2,−1,1) .

Найти: 1) AB, AC, 2 AB − 4 AC;

2)AB , AC ;

3)направляющие косинусы вектора AB .

4.3.4.Доказать, что точки A(1,0,−2), B(0,−1,3), C(−2,−1,1) , D(−1,0,−4) являются

вершинами параллелограмма. Найти длины сторон и диагоналей этого параллелограмма.

4.3.5. Дан треугольник с вершинами A(−2,0,2), B(4,−2,3), C(0,2,3) .

Найти: 1) длины сторон треугольника;

2)координаты точки М - середины стороны ВС;

3)вектор AM и длину медианы АМ.

a2 = a a cos(0 ) = a 2 =16 .

Используя свойства скалярного произведения, получим

(a + 2b )(a −b )= a2 + 2b a − a b − 2b 2 = a2 + a b − 2b 2 = = a 2 + ab cos(a b) − 2 b 2 =16 +10 − 2 25 = −24.

Пример 5.1.2. Дано: a =(0, −1,1), b =(2,1,0).

Найти: 1) a b ;

2) (3a −b )(a +b )двумя способами.

Решение. 1) Используя формулу для вычисления скалярного произведения, получим

ab = 0 2 + (−1) 1 +1 0 = −1.

2) первый способ: раскроем скобки, пользуясь свойствами скалярного произведения,

(3a −b )(a +b )=3a2 −b a +3ab −b 2 =3a2 + 2ab −b 2 .

Так как ab = −1, 3a2 =3 a 2 =3 (0 +1 +1)= 6 b 2 = 4 +1 + 0 =5 , то получим

(3a −b )(a +b )=6 − 2 −5 = −1;

3)второй способ: найдем координаты сомножителей

3a −b =(0,−3,3)−(2,1,0)=(−2,−4,3),

a + b =(0,−1,1)+ (2,1,0)=(2,0,1).

Тогда

(3a −b )(a +b )=(−2) 2 + (−4) 0 + 3 1 = −1.

Пример 5.1.3. Даны вершины треугольника A(−1,0,2), B(0,3,−1),

C (4,2,1). Найти угол при вершине А.

Решение. Составим два вектораAB и AC с общим началом – точкой А. Получим

AB =(0 +1,3 − 0, −1 − 2)=(1,3,−3),

19

AC =(4 +1,2 − 0,1 − 2)=(5,2,−1).

Найдем косинус угла А, как косинус угла между векторами AB и AC

значит

(a + b)×(b − 2a)=3 4 =12.

Пример 5.1.5. Дано: a =(−1,3,0,), b =(0,2,−1).

Найти a ×b , a ×b , (a − 2b)×(2a +3b).

Решение. Пользуясь формулой векторного произведения, получим

Найдем координаты сомножителей

a − 2b =(−1,3,0)−(0,4,−2)=(−1,−1,2), 20

2a + 3b =(−2,6,0)+ (0,6,−3)=(−2,12,−3).

Пример 5.1.6. Найти площадь треугольника АВС, если известны его вер-

шины A(1, −1,2), B(2,−3,5), C (3, −1,3).

Решение. Воспользуемся формулой площади треугольника через коорди-

наты векторов AB, AC

S = 12 AB × AC .

Для этого найдем координаты векторов AB =(1,−2,3), AC =(2,0,1) и их

2

Пример 5.1.7. Найти вектор N, перпендикулярный плоскости, в которой лежат три точки A(1,−1,0), B(0,1,2), C (2,0,1).

Решение. Если вектор N перпендикулярен плоскости, то он перпенди-

кулярен любым прямым, лежащим на плоскости, в частности, векторам AB и

AC . Это значит, что в качестве вектора N можно взять векторное произведе-

Пример 5.1.8. Найти смешанное произведение трех векторов

21