Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
24
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
630.28 Кб
Скачать

РАЗДЕЛ. II. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Тема 4. Векторы. Линейные операции над векторами.

4.1. Типовые примеры

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.1.1. Для заданных векторов a,b

(РИС.

 

 

 

 

bG

4.1.1)построить векторы 2a +b, a

1 b .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Используя определения линейных пре-

 

 

 

 

аG

образований над векторами, получим (рис. 4.1.2)

 

 

 

 

 

 

рис. 4.1.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

G

 

G

 

1 G

 

G

1 G

 

 

 

2а

+b

G

 

а

2

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

G

b

2

 

G

 

 

 

 

 

 

 

2а

 

 

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РИС. 4.1.2

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.1.2. Даны точки А(1,1,1), B(2,1,1), C(2,0,1) . Найти вектор

2 АB 3 АC и его модуль.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AB = (1,2,0) 2AB = (2, 4,0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

AC = (3, 1, 2) 3AC = (9,3,6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2AB 3AC =(2 +9, 4 +3, 0 + 6) =(11,1,6) ,

 

 

 

2AB 3AC

 

=

112 + (1)2 + 62 =

158 .

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.1.3. Дан вектор a =3i 4 j k . Найти:

1)

модуль вектора; 2)

направляющие косинусы вектора; 3)орт вектора.

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Запишем вектор a в координатах

a =(3,4,1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1) Найдем модуль вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

=

9 +16 +1 = 26 ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2) найдем направляющие косинусы вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cosα =

 

 

3

 

 

, cosβ= −

 

4

 

 

 

, cos γ = −

1

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

26

 

26

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3) запишем орт вектора, координатами которого являются направляющие

косинусы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

0

=

 

3

 

;

 

4

 

;

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример 4.1.4. Найти координаты точки М , делящей отрезок АB в отно-

шении 2:3, где А(4,3,0), B(9,8,5) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Так как

АM

= 2

 

= λ, то получим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MB

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

+

2

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 +

2

 

 

8

 

 

 

 

 

0

+

2

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

x

=

 

3

 

 

 

 

= 6, y

M

=

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=1, z

M

=

 

3

 

 

 

 

= 2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

1 +

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 +

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

Итак, М(6,1,2) .

4.2.Контрольные вопросы

1)Как найти сумму векторов по правилу треугольника, параллелограмма?

2)Как построить произведение вектора на число?

3)Как построить разность двух векторов?

4)Что называется проекцией вектора на ось?

5)Что составляет базис в декартовой прямоугольной системе координат?

6)Как записать разложение вектора по базису?

7)Что называется координатами вектора?

8)Как записать линейные операции над векторами в координатах?

9)Как найти модуль, направляющие косинусы, орт вектора, заданного в координатах?

10)Запишите координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

4.3.Практические задания

4.3.1. В треугольнике АВС даны стороны AB = a, BC =b, CA =c. Выразить че-

рез a, b, c медианы треугольника.

4.3.2. Даны векторы a =(2,1,1), b =(0,3,4).

Найти: 1) a +b , a b, 2a;

17