5.3 Специальные виды векторных полей.

Векторное поле называетсяпотенциальным, если , где-скалярная функция (потенциал векторного поля).

Для потенциальности векторного поля , заданного в односвязной области, необходимо и достаточно, чтобы оно былобезвихревым, т.е. чтобы . В этом случае существует потенциал поля, который может быть вычислен по формуле, где- некоторая фиксированная точка. Для вычисления интеграла можно выбрать любой путь, соединяющий точкии. Наиболее простым является путь, составленный из эвеньев ломаной, параллельных осям координат, причём за точку, если это возможно, удобно принимать начало координат.

Векторное поле называетсясоленоидальным, если в каждой точке поля . Для соленоидального поля поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Векторное поле , в каждой точке которогои, называетсягармоническим.

11.104 Проверить, является ли векторное поле потенциальным?

а); б);

в);

г).

11.105 Найти потенциал векторного поля:

а); б).

11.106 Проверить, является ли векторное поле соленоидальным?

а); б);

в);

г).

11.107 Проверить, является ли векторное поле гармоническим? (,)

а) ; б); в); г).

5.4 Поток и циркуляция векторного поля.

Линейным интегралом от вектора по кусочно-гладкой ориентированной кривой(работой поля вдоль ) называется число. Если кривая- замкнутая, то линейный интеграл называетсяциркуляцией векторного полявдольи обозначается.

Если замкнутая кусочно-гладкая кривая , ограничивает двустороннюю поверхность, то справедливаформула Стокса

,

где - единичный вектор нормали к поверхности, направление которого выбирается так, чтобы для наблюдателя, смотрящего по направлению, обход контурасовершался против хода часовой стрелки.

Если замкнутая кусочно-гладкая поверхность , ограничивает объём, то справедливаформула Гаусса-Остроградского

,

где - единичный вектор внешней нормали к поверхности.

В задачах 11.108-11.111 используя формулу Стокса, найти циркуляцию векторного полявдоль контура, ориентированного против хода часовой стрелки:

11.108 ,.

11.109 ,.

11.110 ,.

11.111 ,.

В задачах 11.112-11.115 найти работу силового полявдоль кривой:

11.112 ,-наименьшая дуга окружности от точкидо точки.

11.113 ,-часть графика от точкидо точки.

11.114 ,-полуокружность от точкидо точки.в области.

11.115,-дуга эллипса () от точкидо точки.

В задачах 11.116-11.117 найти поток векторного полячерез ориентированную нормальюповерхность:

11.116 , - часть внешней стороны параболоида, отсечённая плоскостью.

11.117 , - часть внешней стороны цилиндра, расположенная в первом октанте между плоскостямии.

11.118 , - часть внешней стороны параболоида, расположенная в первом октанте.

11.119 , - часть внешней стороны сферы, расположенная в области.

В задачах 11.120-11.123, используя формулу Гаусса-Остроградского, найти поток векторного полячерез замкнутую поверхность:

11.120 , - полная внешняя поверхность куба:,,.

11.121 , - полная внешняя поверхность конуса.

11.122 , - полная внешняя поверхность тела,,,.

11.123 , - полная внешняя поверхность тела.

267