§5. Теория поля.

5.1Скалярное поле. Градиент. Производная по направлению.

Пусть - область в двумерном пространстве.Скалярным полем на называется числовая функция, заданная в точках. Линии, гденазываютсялиниями уровня скалярного поля .

Пусть - область в трёхмерном пространстве.

Скалярным полем на называется числовая функция, заданная в точках. Поверхности, гденазываютсяповерхностями уровня скалярного поля .

Градиентом скалярного поля называется вектор

.

Производная скалярного поля по направлению произвольного вектора вычисляется по формуле, где,,- направляющие косинусы вектора.

Градиент скалярного поля в точкенаправлен по нормали к поверхности уровня, проходящей черезв сторону возрастания поля, а его модульравен наибольшей производной по направлению в этой точке.

11.81 Найти линии уровня следующих скалярных полей:

а) ; б); в); г).

11.82 Найти поверхности уровня следующих скалярных полей:

а) ; б);

в) ; г).

11.83 Найти градиент скалярного поля в точке, если:

а), ;б) ,.

11.84 Найти угол между градиентами скалярного поляв точкахи, если:

а) , ,;

б) , ,.

11.85 Найти, полагая ,:

а) ; б); в); г).

11.86 Найти точки в которых градиент скалярного поля равен вектору.

11.87 Найти точки в которых градиент скалярного поля перпендикулярен радиус-вектору.

11.88 Найти точки в которых модуль градиента скалярного поля равен 2.

11.89 Найти стационарные точки скалярного поля .

11.90 Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня скалярного поля в точке, направленный в сторону возрастания поля.

11.91 Найти производную скалярного поля по направлению векторав точке, если:

а) ,, ;

б) ,, .

11.92 Найти производную скалярного поля в точкепо направлению радиус-вектораэтой точки.

11.93 Найти производную скалярного поля в точкепо направлению его градиента (-радиус вектор точки).

11.94 Найти скорость и направление наибыстрейшего возрастания скалярного поля в точке .

5.2 Векторное поле. Дивергенция. Ротор.

Пусть - область в трёхмерном пространстве.Векторным полем на называется векторная функция, заданная в точках, где- радиус-вектор точки. Аналогично определяется плоское векторное поле.

Векторной линией (силовой линией, линией тока) называется гладкая кривая, касательная к которой в каждой точке имеет направление соответствующего ей вектора поля. Векторные линии полянаходятся из системы дифференциальных уравнений

.

Если - плоская кусочно-гладкая простая (без точек самопересечений) замкнутая кривая, нигде не касающаяся векторных линий поля, то поверхность, образованная векторными линиями, пересекающими, называетсявекторной трубкой поля .

Дивергенцией векторного поля называется скалярная величина.

Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор.

Все операции векторного анализа можно выразить при помощи оператора Гамильтона – символического вектора (читается - набла), определяемого равенством. Так, например:,,.

Оператором Лапласа (лапласианом) называется скалярный символ , определяемый равенством.

11.95 Найти векторные линии плоского векторного поля :

а) ; б); в); г).

11.96 Найти векторные линии пространственного векторного поля :

а) ; б).

11.97 Вычислить (,) : если:

а) ; б);

в) ; г).

11.98 Вычислить (,) : если:

а) ; б);

в) ; г).

11.99 Доказать следующие соотношения:

а) ; б); в);

г) ; д);

е) .

11.100 Найти , если .

11.101 Найти , если .

11.102 Найти .11.103 Найти .