5.160 . 5.161. 5.162.

5.163 . 5.164.

5.165 Написать разложения по степеням до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а) до члена с ;б) до члена с ;

в) до члена с .

5.166. Написать разложения по степеням до членов указанного порядка включительно следующих функций:

а) до члена с ;;

б) до члена с ;.

5.167. Оценить абсолютную погрешность приближённых формул: а) при;б) при;

в) при.

В задачах 5.168-5.169 используя разложения функций по формуле Маклорена вычислить следующие пределы:

5.168 .5.169..

5.170 Вычислить с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0.001, приближенные значения следующих чисел:

а) sin 1; б) ;в) г).

§5. Правило Лопиталя.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух дифференцируемых или бесконечно малых или бесконечно больших функций при (- числоили символ) равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле:. Правило Лопиталя используют для раскрытия неопределённостей видови.

На каждом этапе применения правила Лопиталя следует пользоваться упрощающими отношение тождественными преобразованиями, а также комбинировать это правило с любыми другими приёмами вычисления пределов. В некоторых случаях может потребоваться неоднократное применение данного правила.

Раскрытие неопределённостей видов ,,,,путём преобразований:

, ,

приводится к раскрытию неопределенностей видов и.

В задачах 5.171-5.220 вычислить пределы:

5.171 . 5.172.

5.173 . 5.174.

5.175 . 5.176.

5.177 . 5.178.

5.179 . 5.180.

5.181 . 5.182.

5.183 . 5.184.

5.185 . 5.186.

5.187 . 5.188.

5.189. 5.190..

5.191. 5.192.

5.193 . 5.194.

5.195 . 5.196.

5.197 . 5.198.

5.199 . 5.200.

5.201 . 5.202.

5.203 . 5.204.

5.205 . 5.206.

5.207 . 5.208.

5.209 . 5.210.

5.211 . 5.212.

5.213 . 5.214.

5.215 . 5.216.

5.217 . 5.218.

5.219 . 5.220.

§6. Исследование функций и построение графиков.

6.1 Возрастание, убывание функций. Экстремум.

Функция называетсявозрастающей (убывающей) на интервале , если для любых, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство().

Если функция дифференцируема на интервалеи() при всех, то функциявозрастает (убывает) на.

Точка , принадлежащая области определенияфункции, называетсякритической точкой функции, если в этой точке илине существует. Критические точки функцииразбивают её область определенияна интервалы монотонности (интервалы возрастания и убывания).

Точка называетсяточкой минимума (максимума) функции , если существует окрестность точкитакая, что для всех точекэтой окрестности выполняется неравенство(), а число-минимумом (максимумом) функции. Точки минимума и максимума функции называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции.

Необходимое условие экстремума. Если - точка экстремума функции, тоилине существует.

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция дифференцируема в окрестности точки, в которойилине существует. Тогда, если производная, при переходе слева направо через точку:1) меняет знак с «+» на «», то- точка максимума;2) меняет знак с знак с «» на «+», то- точка минимума;3) сохраняет знак, то не является точкой экстремума.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть функция дважды дифференцируема в точке, в которой,. Тогда:1) если , то- точка максимума;2) если , то- точка минимума.

В задачах 5.221-5.234 для указанных функций найти интервалы возрастания и убывания: