5.72 . 5.73 . 5.74 .

5.75 . 5.76. 5.77 .

5.78. 5.79. 5.80 .

В задачах 5.81-5.84 найти производные указанного порядка от следующих функций:

5.81 5.82

5.83 5.84

В задачах 5.85-5.90 найти формулу для -ой производной от следующих функций:

5.85 . 5.86.. 5.87. 5.88 . 5.89 . 5.90.

В задачах 5.91-5.96 найти производные 2-го порядка следующих функций, заданных параметрически:

5.91 5.92 .

5.93 . 5.94 .

5.95 . 5.96 .

§2. Дифференциал.

Если функция дифференцируема в точке, то её приращениеможет быть представлено в виде:

, где при.

Дифференциалом функциив точкеназывается главная, линейная относительночастьприращенияфункции:. В частности, для функцииимеем, т.е. дифференциал независимого переменногосовпадает с приращением. Поэтому дифференциал функциизаписывается в виде. Форма записи первого дифференциала не изменится и в том случае, если переменнаяявляется функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности формы первого дифференциала).

Для функции одной переменной существование в точкееё дифференциалаи производнойравносильны.

Дифференциалом 2-ого порядка функции называется дифференциал от её первого дифференциала и обозначается, т. е.. В общемдифференциалом порядка называется дифференциал от дифференциала-ого порядка и обозначается, т.е..

Если - независимая переменная, то для нахождения дифференциалафункциисправедлива формула.

Первый дифференциал применяют для приближённого вычисления значений функции в малой окрестности точки, в которой функция дифференцируема, по формуле:

, где .

Чем меньше значение , тем точнее приближённая формула.

5.97 Найти приращение и дифференциалфункциисоответствующие значению аргументаи двум различным приращениям аргумента

5.98 Какое приращение получает функция при переходе независимой переменной от значенияк значению. Каково значение соответствующей линейной главной части? Найти отношение второй величины к первой.

5.99 Найти приращение и дифференциал функции прииВычислить абсолютнуюи относительнуюпогрешности, которые получаются при замене приращения дифференциалом.

5.100 Найти приращение и дифференциалплощадиS квадрата, соответствующие приращению стороны x.

5.101 Найти приращениеобъемаV шара при изменении радиуса R=2 на . Вычислить, если. Какова будет погрешность значения, если ограничиться членом, содержащимв первой степени?

В задачах 5.102-5.113 найти дифференциалы функций:

5.102 . 5.103.

5.104 . 5.105.

5.106. 5.107.

5.108 . 5.109 .

5.110 . 5.111.

5.112 . 5.113.

В задачах 5.114-5.118 найти дифференциалы второго порядка следующих функций:

5.114 . 5.115. 5.116.

5.117 . 5.118.

5.119 Найти приближенное значение функции при.

5.120 Найти приближенное значение функции при

В задачах 5.121-5.126 вычислить приближенно:

5.121 . 5.122. 5.123.

5.124 . 5.125. 5.126.

§3. Некоторые приложения производной.

3.1. Геометрические приложения производной.

Уравнение касательной к графику функции в точкеимеет вид:, ауравнение нормали - вид: .Углом между двумя кривыми ив точке их пересеченияназывается уголмежду касательными к этим кривым в точке, тангенс которого вычисляется по формуле:.

В задачах 5.127-5.130 составить уравнения касательной и нормали к данным линиям в указанных точках.

5.127 а) ;

б) ,;в) ,.

5.128 а) ;

б) ,;

в) .

5.129 а) ,; б),,;

в) ,.

5.130 а) ; б),,;

в) ,.

5.131. Найти углы, под которыми пересекаются данные линии:

а) ; б)

5.132 Составить уравнения касательных к линиив точках ее пересечения с осью абсцисс.

5.133 В какой точке кривойкасательная перпендикулярна к прямой?

5.134 Найти коэффициенты в уравнении параболыкасающейся прямойв точке

5.135 Показать, что касательные к гиперболе в точках её пересечения с осями координат параллельны между собой.

5.136 Составить уравнение нормали к графику функции в точке её пересечения с биссектрисой первого координатного угла.

5.137 Составить уравнение нормали к параболе которая перпендикулярна к прямой, соединяющей начало координат с вершиной параболы.

5.138 На линии найти точки, в которых касательные к ней параллельны оси абсцисс.

5.139 В каких точках линиикасательная к ней параллельна прямой

5.140 Составить уравнение касательной к линии перпендикулярной к прямой