Глава 3. Аналитическая геометрия.

§ 1. Аналитическая геометрия на плоскости.

1.1 Прямая линия на плоскости.

Нормальным вектором прямой , называется всякий ненулевой векторперпендикулярный данной прямой.Направляющим вектором прямой , называется всякий ненулевой векторпараллельный данной прямой.

Прямая на плоскости в системе координат может быть задана уравнением одного из следующих видов:

1) -общее уравнение прямой, где - нормальный вектор прямой;

2) - уравнение прямой, проходящей через точкуперпендикулярно данному вектору;

3) - уравнение прямой, проходящей через точкупараллельно данному вектору(каноническое уравнение);

4) - уравнение прямой, проходящей через две данные точки,;

5) -уравнения прямой с угловым коэффициентом , где - точка через которую прямая проходит;() – угол, который прямая составляет с осью;- длина отрезка (со знаком), отсекаемого прямой на оси(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

6) -уравнение прямой в отрезках, где и- длины отрезков (со знаком), отсекаемых прямой на координатных осяхи(знак «», если отрезок отсекается на положительной части оси и «», если на отрицательной).

Расстояние от точки до прямой , заданной общим уравнениемна плоскости, находится по формуле:

.

Угол ,() между прямыми и, заданными общими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом, находится по одной из следующих формул:

; .

, если или.

,еслиили

Координаты точки пересечения прямых инаходятся как решение системы линейных уравнений:

или .

В задачах 3.1-3.3 требуется написать уравнение прямой, привести его к общему виду и построить прямую:

3.1 Прямая задана точкойи нормальным вектором:а); б) ;

в) .

3.2 Прямая задана точкойи направляющим вектором:а); б);

в) .

3.3 Прямая задана двумя своими точкамии:а); б);

в).

3.4 Определить угловой коэффициент и отрезки, отсекаемые на осях координат прямой, заданной уравнением. Построить прямую.

3.5 Вычислить угол между двумя прямыми:

.

3.6 Через точку провести прямую, параллельную прямой

3.7 Написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки на прямую

3.8 Написать уравнение прямой, которая проходит через начало координат и: а) параллельна прямой

б) образует угол в с прямой

в) перпендикулярна

г) образует угол в с прямой

3.9 Через точку провести прямую, отсекающую равные отрезки на осях координат.

3.10 Написать уравнение прямой, которая проходит через точку и параллельна: а) оси абсцисс;

б) биссектрисе координатного угла; в) прямой

3.11 Даны вершины треугольника: Через каждую из них провести прямую, параллельную противолежащей стороне.

3. 12 Даны вершины треугольника: Составить уравнения:а) трех его сторон;

б) высоты, опущенной из вершины на сторону ;

в) медианы, проведенной из вершины ;

г) биссектрисы угла .

3.13 Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой

3.14 Через точку провести прямую так, чтобы площадь треугольника, образованного ею и осями, была равна.

3.15 Найти расстояние точки :

а) от прямой

б) от прямой

в) от прямой

3.16 На оси ординат прямоугольной системы координат найти точку, одинаково удаленную от начала координат и от прямой

3.17 Доказать, что прямые параллельны между собой, и найти расстояние между ними.

3.18 Даны уравнения двух параллельных прямых: Составить уравнение прямой им параллельной и проходящей посередине между ними.

3.19 Найти точку, симметричную с точкой относительно прямой

3.20 Написать уравнения биссектрис углов, образованных прямыми:

3.21 Даны уравнения сторон треугольника: Вычислить координаты его вершин.

3.22 Даны две вершины треугольника и точкапересечения его высот. Вычислить координаты третьей вершины

3.23 Составить уравнения высот треугольника, зная уравнения его сторон:

3.24 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух высот:и

3.25 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения двух медиан:и

3.26 Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из его вершин и уравнения биссектрис двух его углов: