1.1 Дифференцирование функций, заданных явно.

В задачах 5.1-5.10 найти производные следующих функций.

5.1 а); б); в).

5.2 а); б);

в).

5.3 а); б); в).

5.4 а);б);

в).

5.5 а); б); в).

5.6 а); б); в).

5.7 а); б); в).

5.8 а); б);

в).

5.9 а); б);

в).

5.10 а); б);

в).

5.11 Показать, что функция удовлетворяет условию:

В задачах 5.12-5.21 найти производные следующих функций:

5.12 а); б); в).

5.13 а); б); в).

5.14 а); б); в).

5.15 а); б); в).

5.16 а); б); в).

5.17 а); б); в).

5.18 а); б); в).

5.19 а); б); в).

5.20 а); б); в).

5.21 а); б); в).

В задачах 5.22-5.49 найти производные следующих функций:

5.22 . 5.23 .

5.24 . 5.25.

5.26 . 5.27.

5.28 . 5.29 .

5.30 . 5.31.

5.32 . 5.33.

5.34 . 5.35.

5.36 . 5.37 .

5.38 . 5.39.

5.40 .

5.41 . 5.42 .

5.43 .

5.44 . 5.45.

5.46 . 5.47 .

5.48 . 5.49 .

Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции, т.е..

Применение предварительного логарифмирования функции приводит к следующему, часто более простому, способу вычисления её производной: . Например, для степенно-показательной функции, где,- дифференцируемые функции:

.

В задачах 5.50-5.59 найти производные функций, используя предварительное логарифмирование:

5.50 . 5.51.

5.52 . 5.53 .

5.54 . 5.55 .

5.56 . 5.57.

5.58 . 5.59 .

1.2. Дифференцирование функций, заданных неявно или параметрически.

Если дифференцируемая функция задана неявно уравнением, то производнаяэтой неявной функции может быть найдена из уравнения, линейного относительно, где-рассматривается как сложная функция переменной.

Если и-взаимно обратные дифференцируемые функции и, то справедлива формула:(правило дифференцирования обратной функции).

Если дифференцируемая функция задана параметрически:,, где,-дифференцируемые функции и, то справедлива формула:.

При дифференцировании сложных и обратных функций, а также функций заданных неявно и параметрически для производной используют обозначения типа там, где необходимо уточнить, по какой переменной ведётся дифференцирование.

В задачах 5.60-5.64 для функций , заданных неявно, найти

5.60 . 5.61. 5.62 .

5.63 . 5.64.

В задачах 5.65-5.71 для функций , заданных параметрически, найти

5.65 . 5.66.

5.67 . 5.68.

5.69 .

5.70 .

5.71 .

1.3. Производные высших порядков.

Производной 2-ого порядка от функции называется производная от её первой производной и обозначается, т. е.. В общемпроизводной порядка (-ой производной) называется производная от -ой производной и обозначается, т.е.. Для производнойиспользуется также обозначение.

Производная функциинаходится её последовательным дифференцированием:,,…,. Если функциязадана параметрически, то её производные высших порядков находятся по формулам:,,….

В задачах 5.72-5.80 найти производные второго порядка от следующих функций: