справочник для 1-го курса

2.Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

3.Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и только одну.

4.Если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она

1=α1 ∩ α3 ǁ l2=α2 ∩ α3

6.Через точку , не лежащую в данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и только одну. Мϵα1

7.Две плоскости, параллельные третьей параллельны между собой.

α1ǁ α3 и α2ǁ α3 α1ǁ α2

8. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.

1 ǁ 2 и 1 ǁ 2, lА1А2l = lВ1В2l

Углы между прямыми и плоскостями

Угол между прямой и плоскостью называется угол между прямой и её проекцией на плоскость.

Угол между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, параллельными соответственно данным скрещивающимся прямым.

b1 ǁ b , b1 ∩ α=(·)А

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями с общей прямой. Полуплоскости называются гранями, прямая – ребром двугранного угла.

Линейным углом двугранного угла называется угол между полупрямыми, принадлежащими граням двугранного угла, исходящими из одной точки на ребре и перпендикулярными ребру.

Градусная (радианная) мера двугранного угла равна градусной (радианной) мере его линейного угла.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Две прямые называются перпендикулярными, ели они пересекаются под прямым углом.

l1 l2

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку пересечения данной прямой и плоскости.

l1 l2 l1 α

l2ϵ α

Две плоскости называются перпендикулярными, если пересекаясь, они образуют прямые двугранные углы. α

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Признак перпендикулярности двух плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теоремы о перпендикулярных прямых и плоскостях:

1. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она

2.Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.

3.Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой. α ǁ l

l α

4.Если две плоскости перпендикулярны одной и той же прямой , то они параллельны.

1.Наклонные, имеющие равные проекции, равны;

2.Из двух наклонных больше та, проекция которой больше

3.Равные наклонные имеют равные проекции;

4.Из двух проекций больше та, которая соответствует большей наклонной.

Теорема о трёх перпендикулярах. Для того чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной.

l ϵ α i l1∩ α=C l1 ∩ l3=A l3 α

l1 l l4

Теорема о площади ортогональной проекции многоугольника на плоскость. Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению площади многоугольника на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.