Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Минский государственный высший радиотехнический колледж

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

справочник для 1-го курса

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

25.02.2016

Размер:

12.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Преобразование графиков функций

y = f(x) + a

Вверх, если a>0

Вниз, если a<0

y = f(x − a)

Вправо, если a>0

Влево, если a<0

y = f(kx)

При k > 1 — растяжение графика

При 0 < k < 1 — cжатие графика к

y = kf(x)

При k > 1 — сжатие графика к оси Oу в k раз.

При 0 < k < 1 — растяжение графика от оси Oу в k раз.

y = − f(x)

y=f(−x)

y = |f(x)|

y = f(|x|)

Обратная функция

Пусть задана функция y = f (x), x D. Если функция f такова, что каждому значению y0 соответствует только одно значение x0 D, то эту функцию называ-

ют обратимой. Для такой функции уравнение y = f (x) можно при лю-

бом y однозначно разрешить относительно x, то есть каждому y E соответствует единственное значение x D. Это соответствие определяет функцию, которую называют обратной к функции f и обозначают f–1.

Пусть g = f–1. Тогда:

D (g) = E (f), E (g) = D (f);

для любого x D, g (f (x)) = x,

для любого x E, f (g (x)) = x;

Графики функций y = f (x) и y = g (x) симметричны относительно прямой y = x.

«Математика - единственный совершенный способ, позволяющий провести самого себя за нос»

А. Эйнштейн


Число b R называется корнем n-й степени, n N, из числа а, если bn=a, обозначают	n a.

Нахождение корня n-й степени из данного числа а называют извлечением корня n-й степени из числа а. Число а, из которого извлекается корень n-й степени, называют подкоренным вы-

ражением, а число n – показателем корня.

2k 1
2k 1			a	определен для всех a R и принимает любые действительные значения.
Если n=2k+1 то
2k
2k	a	определен для всех a ≥0 (a R).
Если n=2k, то		определен для всех a ≥0 (a R).

Свойства корней n-ной степени:

«В глазах непосвященного математические символы словно вражеские штандарты, развивающиеся над, казалось бы, неприступной цитаделью».

М. Клайн

В выражении ax число а называют основанием степени, число x – показателем степени. Нахождение значения степени называют

возведением в степень.

Степень с действительным показателем

Пусть a R, тогда:

	an a a ... a ,
1)	n раз	n N;
1)		n N;

2)a0 1, a 0;

a n 1 , n N, a 0;

3)an

a n n a, n N, n 2

и a ≥0, если n 2k, k N;

m , n N,

n 2, m N

n 2k, k N,

и если

то a ≥0;

, a 0, n N, n 2, m N

a n

и если

n 2k, k N,

a 0;

Свойства степеней

Допустим, что a, b, c R и это такие числа, что все степени имеют смысл. Тогда:

1) ab ac ab c ;

ab ab c ;

2) ac

ab c abc ;

ac bc a b c ;

	ac	a c
			;
	bc
5)		b

ax a y ,

6) если a > 1 и x < y, то

ax a y ;

если 0 < a < 1 и x < y, то

ax bx ,

7) если 0 < a < b и x >0, то

если 0 < a < b и x < 0, то	ax bx .

Иррациональные

уравнения

Срок действия: 00.00.00

ррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неиз-

вестную под знаком корня или под дробным показателем.

Тип

Вид

Решение

2n 1

2n1 f (x) g(x).

2n 1

f (x) g(x) .

А)

А) ^

приводит к равносильному уравнению

Б) ^ 2n 1

Б)

2n1 f (x) 2n1 g(x)

сводится к равносильному уравнению f (x) g(x).

В)

2n f (x) g(x), n N

f (x) g(x) 2n .

В) ^ 2n приводит к уравнению-следствию

Г)

2n f (x) 2n g(x)

Г) ^ 2n сводится к уравнению-следствию

f (x) g(x).

А1) Возведение в квадрат

А2) Умножение уравнения на сопряженное выражение

a f (x) b g(x) h(x),

А)

a2 f (x) b2 g(x) h(x)

a f (x) b g(x)

где

a, b R.

f (x) b g(x) h(x),

Решают h(x) = 0.

f (x) b g(x)

Затем для h(x)≠0 рассматривают систему a

f (x) b

g(x)

h(x)

f (x) u,

g(x) v

А3) Замена переменных

Б)

a 3 f (x) b 3 g(x) h(x),

Б) ^3 сводится к уравнению

a 3

h(x) 3 .

a3 f (x) b3 g(x) 3ab3

f (x)g(x)

f (x)

g(x)

y n f (x)

III

f (x) 0, n 2, 3, ...,

Заменой

оно сводится к уравнению

где F – некоторое алгебраиче-

F ( y) 0.

ское

выражение относительно

n f (x),

Сводится к решению системы

a2n

f (x) b2n g(x) 0,

где a > 0, b > 0

f (x) 0,

g(x) 0.

Показательная функция

y=ax

a>1

1.D(y): x R

2.E(y): y>0, (0;+ )

3.Свойством четности не обладает.

4.Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой,

то есть, если x1< x2 , a>0, то ax1 < ax2 .

5.Функция неограниченно возрастает при x +

6.При x - , ax 0

7.Точки пересечения с осями:

Oy: нет

Ox: x=0, a0=1 =>(0;1)

0<a<1

1.D(y): x R

2.E(y): y>0, (0;+ )

3.Свойством четности не обладает.

4.Функция строго монотонно убывает на всей числовой прямой, то

есть, если x1< x2 , 0<a<1,

то ax1 > ax2 .

5.Функция неограниченно убывает при ax 0,x +

6.При x - , ax +

7.Точки пересечения с осями:

Oy: y=0, a0=1 =>(0;1)

Ox: нет

Показательные	уравнения

Показательным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную величину в показателе степени при постоянном основании a (a > 0).Срок действия: 00.00.00

Тип

Уравнение

Решение

a f ( x) b,

a 0, a 1,

Имеет решение, если b > 0. Решают логарифмированием по основанию a:

где

log

a f ( x) log

f (x) log

Тогда

a f ( x) a g ( x) ,

где a 0,

По свойству равенства степеней равносильно уравнению f (x) g(x).

y a f ( x)

Производят замену переменной

и решают уравнение F(y) = 0.

F a f ( x) 0,

где F – некоторое

Если

y1, y2 , ..., yn , n N

– корни уравнения, то после возвращения к

старой переменной решение уравнения сводится к решению равносиль-

выражение относительно a f ( x) .

III

ной ему совокупности уравнений

a f ( x)

y ,

a f ( x)

y2 ,

...,

yn .

f ( x)

Уравнения, решаемые

Для таких уравнений строят соответствующие графики для левой и

графическим методом

правой частей уравнения. Определяют, для каких значений x графики

имеют общую ординату. Используют также иные функциональные свой-

ства, в частности, монотонность функции (возрастание, убывание).

Показательно-степенным уравнением называется уравнение, в котором неизвестная величина содержится и в основании степени, и в показателе. Такие уравнения принято решать при условии, что основания степени положительны (ОДЗ

уравнения).

Тип	Уравнение				Решение

I	g ( x)	h( x)		.	Решение уравнения на ОДЗ сводится к решению совокупности
I	f (x)	f (x)		.	g(x) h(x),
					g(x) h(x),

					f (x) 1.
II	g( x)	g( x)	.		Решение уравнения на ОДЗ сводится к решению совокупности
II	f (x)	h(x)	.
					f (x) h(x),

					g(x) 0.

Показательным неравенством называется неравенство, в котором неизвестная содержится только в показателе степени при постоянном основании а, а > 0, a ≠1.

Тип	Неравенство				Решение

		Если b 0, то решением является множество всех x из
		ОДЗ выражения f(x).
I	a f ( x) b,	Если b 0, логарифмируем.
	a f ( x) b,	1) если 0 a 1,		f (x) loga b;
	где b R.	1) если 0 a 1,		f (x) loga b;
		2) если	a 1,	f (x) log a b.
		2) если

II	a f ( x) ag ( x) .	1) если 0 < a < 1,		f (x) g(x),
	a f ( x) ag ( x) .	Решение в зависимости от вида выражений f(x) и g(x);
		2) если	a 1,	f (x) g(x).
		2) если

III	F a f ( x) 0,	Заменяем y a f ( x)			и решаем относительно
	где F – некоторое выражение относительно	переменной y неравенство F ( y) 0.
	a f ( x).

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
25.02.20162.07 Mб24САПР_Работа1_4.pdf
#
25.02.20161.1 Mб7САПР_Работа5.pdf
#
14.08.201965.02 Кб6Свободные экономические зоны (лекция).doc
#
16.12.2018152.16 Кб12Синтез комбинационной схемы.docx
#
28.07.2019184.83 Кб3Смута.doc
#
25.02.201612.11 Mб10справочник для 1-го курса.pdf
#
27.08.201934.79 Кб6Стандартизация и сертификация ПО (Сачко Анастас...docx
#
20.09.201938.5 Кб3Стандартизация.docx
#
25.02.2016104.02 Кб30СУБД (Лазицкас Екатерина Александровна).docx
#
16.07.20196.73 Mб2СУБД сОЗДАНИЕ ПРИЛОЖЕНИЙ.doc
#
07.09.201945.51 Кб3СУБД.docx