справочник для 1-го курса

a2-b2=(a-b)*(a+b)

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

разность квадратов

куб суммы

(a+b)2=a2+2ab+b2

(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

квадрат суммы

куб разности

(a-b)2=a2-2ab+b2

a3+b3=(a=b)*(a2-ab+b2)

квадрат разности

сумма кубов

(a+b+c) 2 =

a3-b3=(a=b)*(a2+ab+b2)

a2+b2+c2+2ac+2bc+2ab

разность кубов

a b n an nan 1b

n n 1

an 2b2

...

1 2

n n 1 ... n k 1

an k bk

... bn .

1 2... k

1

0

1

1

1

1

2

1

2

1

3

3

1

3

1

4

6

4

1

4

1

5

10

10

5

1

5

...................................

...

Уравнения

высшихстепеней

Срок действия: 00.00.00

a

n

xn a

n 1

xn 1

... a x a

0,

1

0

где

a0 , a1, ..., an

R,

an 0, n N,

называется уравнением n-й степени.

№

Уравнение

1

Распадающиеся уравнения

2

axn 2 bxn 1 cxn 0

3

ax2n bxn c 0

4

x

4

x

4

c

5

x x x x A

6

ax2 b1x c ax2 b2 x c Ax2

7

x x x x

Ax

2

8

ax3 bx2 bx a 0

9

ax4 bx3 cx2 bx a 0

№

Уравнение

Решение

Вынесение общего множителя xn за скобки:

1

ax

n 2

bx

n 1

cx

n

0

xn ax2 bx c 0 и сведение к совокупности:

x n

0,

2

bx c 0.

ax

ax2n bxn c 0,

a 0,

n 2,

n N,

Заменой y=xn

получаем уравнение

ax4

bx2 c 0

2

При n=2

2

–

ay +by+c=0, которое решается, как квадратное.

биквадратное уравнение

x 4 x 4 c,

Cводится к биквадратному уравнению заменой

x x

3

y

.

где

, , c R,

2

x x x x A,

Cводится к биквадратному уравнению заменой

x x x x

y

.

, , ,

4

где

и А таковы, что

4

и ,

Или при

к уравнению

x2 x

x2 x A

Заменой

x2

x y.

ax

c ax

Делим на x2-получаем

2

b1x

2

2

b2 x c Ax ,

c

c

5

ax

x

b1

ax

x

b2

A 0,

c

0

A 0,

где

и

c

y ax

Замена

x

—> квадратное уравнение

x x x x Ax2 ,

Сводится к №5 попарного перемножения выражений в скобках:

6

, , ,

0,

x2 x x2 x Ax2.

где

и А таковы, что

ax

3

bx

2

bx a 0,

ax3 bx2 bx a a x3 1 bx x 1

x 1 ax2 b a x 1 ,

7

a 0,

где

x 1 0,

Симметрическое уравнение 3 степени

ax2 b a x a 0.

ax2

a

bx

b

c 0

ax4 bx3

cx2

bx a 0,

2

x2

x

Делим на x

—>

или

где

a 0,

1

2

1

8

a

x

2 b

x

c

0.

x

x

Симметрическое уравнение 4 степени

y x

1

Замена

x

—> квадратное уравнение.

1)

x

0;

2)

x

x

;

3)

xy

x

y

;

x

x

, y 0;

2 x2 ;

x

x2

x

;

4)

y

y

5)

6)

7)

x

x;

8)

x y

x

y

;

9)

x y

x

y

.

Тип

Уравнение

Решение

f x

a,

1. a<0, уравнение решений не имеет.

f x 0.

I

a R;

f x

2. a=0, равносильно уравнению

где а – число,

–

3. a>0, равносильно совокупности уравнений:

некоторое выражение с неизвестной х.

f x a,