справочник для 1-го курса

Обратные тригонометрические

функции

y=arcsin a

1.D(y) x [-1;1]

2.E(y) y [-\2; \2]

3.Пересечение с осями: Ох: y=0, x=0 (0;0)

Oy: x=0, y=0 (0;0)

4.Не периодична

5.Нечетная

6.Монотонно возрастает на D(y)

7.y>0 при x (0; \2) y<0 при x (-\2;0)

8.Асимптот не имеет

9.Функция ограничена [-\2; \2]

10.yнаиб= \2, при x=1 yнаим=-\2, при x=-1

y=arccos a

1.D(y) x [-1;1]

2.E(y) y [0; ]

3.Пересечение с осями:

Ох: y=0, x=1 (1;0)

Oy: x=0, y= \2 (0; \2)

4.Не периодична

5.Не обладает свойством четности

6.Монотонно убывает на D(y)

7.y≥0 на D(y)

8.Асимптот не имеет

9.Функция ограничена [0; ]

10.yнаиб= , при x=-1 yнаим=0, при x=1

y= arctga

1.D(y) x R

2.E(y) y (-\2; \2)

3.Пересечение с осями: Ох: y=0, x=0 (0;0)

Oy: x=0, y=0 (0;0)

4.Не периодична

5.Нечетная

6.Монотонно возрастает на D(y)

7.y>0 при x (0; +) y<0 при x (-;0)

8.Асимптоты y=+\- \2

9.Функция ограничена [-\2; \2]

10.yнаиб и yнаим функция не имеет

y= arcctga

1.D(y) x R

2.E(y) y (0; )

3.Пересечение с осями: Ох: не пересекает

Oy: x=0, y=; \2 (0; \2)

4.Не периодична

5.Нечетная

6.Монотонно убывает на D(y)

7.y>0 при x R

y<0 не существует

8.Асимптоты y=0 и y=

9.Функция ограничена [0; ]

10.yнаиб и yнаим функция не имеет

Уравнение: РЕШЕНИЯ:

2) sin x = a, где | a | 1, x = ( 1)k · arcsin(a) + k, k Z.

При | a | > 1, sin x = a не имеет решений.

3)tg x = a, x = arctg(a) + k, k Z .

4)ctg x = a , x = arcctg(a) + k, k Z .

Числовой последовательностью называется функция, определенная на множестве натуральных чисел, которая каждому натуральному числу n ставит в соответствие число xn= f(n) .

Числовую последовательность обозначают xn n N, т.е. xn x1,x2,x3…,xn,…..

где xn– n-ный член последовательности, а формула xn= f(n) формула общего члена последовательности. Зная функцию f(n) и номер n, можно вычислить любой член последовательности.

Последовательность xn называется ограниченной, если существуют такие числа m и M, что выполняется неравенство m xn , n N.

Если существует такое число M, что xn n N, то последовательность называется ограниченной сверху; Если существует такое число m, что xn≥m n N, то последовательность называется ограниченной снизу.

Последовательность xn ограничена тогда и только тогда, когда существует такое положительное число C, что выполняется неравенство |xn| C n N.

«Математика может открыть определенную последовательность даже в хаосе». Гертруда Стайн

Число a называется пределом последовательности (xn), если для любого положительного числа ε существует такой номер n(ε), что для всех n ≥ n(ε) выполняется неравенство |xn — a|< ε.

Обозначают limxn =a

n

Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a.

Если последовательность не является ограниченной, то она не имеет предела. Если предел последовательности равен нулю, то ее называют бесконечно малой.

Если предел последовательности равен , то ее называют бесконечно большой, т.е. lim xn = .

Если (xn ) – бесконечно большая последовательность, то 1/(xn) – бесконечно малая последовательность. Если (xn) – бесконечно малая последовательность, то 1/(xn) – бесконечно большая.

Если последовательности (xn), (уn) имеют пределы, то справедливы следующие свойства:

Первый замечательный предел помогает устранить неопределенность вида 0/0

Если u(x) 0 при x x0 x

Второй замечательный предел помогает устранить неопределенность вида 1

Для того, чтобы использовать обобщенную формулу, необходимо проверить, реализованы ли следующие условия:

Пусть функция f x определена в точке x0 и в некоторой ее окрестности, x – точка из рассматриваемой

окрестности. Приращением аргумента в точке x0 называется величина x x x0 , приращением функции – величина f (x0 ) f (x) f (x0 ). Если выразить x x0 x, то f (x0 ) f (x0 x) f (x0).

Производной функции f (x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, при условии, что предел существует.

Производную в точке обозначают f (x0) . По определению:

=

Функция, имеющая производную в точке, называется дифференцируемой в этой точке. Операция нахождения производной называется дифференцированием.

«Я с дрожью ужаса отворачиваюсь от ваших несчастных проклятых функций, у которых нет производных».

Шарль Эрмит

Пусть U=U(x), V=V(x) - дифференцируемые функции. Справедливы формулы: