vector
.pdfВариант №2
1.При каком значении векторы a{ 3, 1} и b{2, } коллинеарны?
2.При каком значении векторы a{ 2, , 1} и b{3, 4, 2} перпендикулярны?
3. |
Чему |
равна |
третья координата вектора [ 2a, 4a b], если |
a{ 2, 3, 1}, |
||
b{1, 2, 8}? |
|
|
|
|
||
4. |
Найти скалярное произведение векторов a{2, 4, 6}, b{3, 7, 6}. |
|
||||
5. |
При |
каком |
значении |
векторы a{3, , 2}, |
b{ 5, , 1}, |
c{4, 5, 1} |
компланарны?
|
|
Вариант №3 |
1. |
Даны векторы a 2m n и |
b m n , где m и n – единичные векторы, |
угол между которыми равен 120º. Определить длину вектора c a 3b . |
||
2. |
Даны вершины треугольника |
A( 1, 2, 3); B(5, 3, 4); C(2, 1, 6) . Разложить |
векторы, совпадающие с его сторонами, по основным ортам i, j, k . Можно ли решить задачу обратную данной?
3. |
Даны векторы p{3, 4, 5}, q{ 4, 2, 1}, r{2, 1, 3}. Найти Пр(q r) p . |
|
|||
4. |
Даны векторы a 3i 2 j k , |
b 2i j 2k , |
c 3i j 2k . |
Найти |
|
[[b c] a]. |
|
|
|
|
|
5. |
Определить, какой является тройка векторов |
(правой, левой |
или |
||
компланарной), если a 2i 3 j k , |
b i j 3k , |
c i 9 j 11k . |
Если |
возможно, вычислить объем параллелепипеда, построенного на данных векторах.
6. Написать разложение вектора r{1, 4, 3} по базису, составленному из векторов p{2, 1, 4}, q{ 3, 5, 1}, a{2, 5, 4}. Составить систему уравнений для определения коэффициентов разложения.
81
Факультет разработки нефтяных и газовых месторождений
|
|
|
Вариант №1 |
|
1. |
Даны |
вершины |
треугольника |
A(3, 2, 3); B(5, 1, 1); C(1, 2, 1) . |
Определить его внешний угол при вершине А. |
||||
2. |
Найти координаты вектора р, если он перпендикулярен векторам c{2, 3, 1} |
|||
и d{1, 2, 3} и удовлетворяет условию |
p (i 2 j 7k) 10 . |
|||
3. |
Лежат |
ли точки |
A(1, 2, 13); B( 2, 1, 4) ; C( 1, 1, 0); D(0, 0, 1) в одной |
|
плоскости? |
|
|
||
|
|
|
Вариант №2 |
|
1. |
Лежат ли на одной прямой три точки A( 9, 2, 2); B(1, 3, 6); C(1, 2, 4) ? |
|||
Ответ поясните. |
|
|
2.Даны два вектора a{3, , 5} и b{6, 4, 10}. Найти , при котором:
1)векторы а и b перпердикулярны;
2)векторы а и b коллинеарны.
3.Проверить компланарность векторов a{ 1, 1, 1}, b{ 2, 2, 3}, c{2, 2, 1}.
4.Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах a{2, 1, 1} и
b{ 2, 0, 2}.
Факультет проектирования, сооружения и эксплуатации систем трубопроводного транспорта
Вариант №1
1. Даны |
A( 1, 3, 7); B(2, 1, 5); |
C(0, 1, 5) . |
Вычислить |
(2AB CB) (2BC BA) .
2. | a | | b | 5, (a , b) 4 . Вычислить площадь треугольника, построенного
на векторах a 2b, |
3a 2b. |
82
3. Определить, какой является тройка векторов (правой, левой или компланарной), если a i 6 j 5k , b 3i 2 j 4k , c 7i k .
|
Вариант №2 |
|
1. |
| a | | b | 1. При каком значении векторы a b и a b будут взаимно |
|
перпендикулярны? |
|
|
2. |
Найти единичный вектор, одновременно перпендикулярный |
вектору |
a{3, 6, 8} и оси Оу, и составляющий с осью Oz тупой угол. |
|
|
3. |
При каком система векторов a, b, c : a{1, 3, }, b{5, 1, 2}, |
c{ 1, 5, 4} |
будет линейно зависима? Найти разложение вектора а по векторам b и с.
Факультет инженерной механики
Вариант №1
1. Даны векторы p{2, 1, 3}, q{ 4, 2, 1}, r{ 3, 4, 5}, a{1, 3, 2}. Показать,
что векторы p, q, r линейно независимы. Разложить вектор а по базису p, q, r . 2. Даны координаты вершин треугольника АВС: A(1, 2, 2); B(5, 0, 2); C(3, 2, 1).
Средствами векторной алгебры найти:
1)длину и направление вектора AM , совпадающего с медианой треугольника;
2)угол между медианой АМ и стороной АВ;
3)площадь треугольника и длину его высоты АК;
4)проекцию вектора ОА на направление вектора S AB AC (О –
начало координат);
5)объем тетраэдра ОАВС и h0 – высоту, опущенную из точки О на основание АВС.
83
|
|
Вариант №2 |
|
|
1. |
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в |
точках A1, A2 , A3, A4 и его |
||
высоту, опущенную из вершины A4 |
на грань A1A2 A3. |
|||
|
A (1, 3, 6); |
A (2, 2, 1); |
A ( 1, 0, 1); |
A ( 4, 6, 3) . |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
2. |
Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на |
|||
векторах а и b, причем a p 2q, |
b 3 p q , | |
p | 1, | q | 2 , ( p , q) / 4 . |
||
3. |
Найти проекцию ПрB A, если A a 2b, B a b , причем a p 2q , |
|||
b 3 p q , | p | 2 , | q | 1, ( p , q) / 3 . |
|
|||
4. |
Найти разложение вектора a{3, 3, 1} по базису |
p, q, r : p{3, 1, 0}, q{ 1, 2, 1}, |
r{ 1, 0, 2}.
5. Найти векторное произведение AB AC , если заданы декартовы координаты начал и концов векторов: A(5, 2, 0); B(2, 5, 0); C(4, 1, 1) .
Вариант №3
7x 2 y z 4,
1. Решить систему уравнений 3x 5 y 3z 1,
2x 5 y z 3.
2. |
Векторы а и b образуют |
угол / 6, причем |
| a | |
3, | b | 1. Найти угол |
||
между векторами p и q, если |
p a 2b, q a b . |
|
|
|||
3. |
Определить, при каких значениях и |
вектор i 3 j k коллинеарен |
||||
вектору a b , если a{3, 1, 1}, b{1, 2, 0}. |
|
|
|
|
||
4. |
Вычислить объем тетраэдра ОАВС, |
если |
OA 3i 4 j , |
OB 3 j k , |
OC 2 j 5k .
84
Факультет химической технологии и экологии
Вариант №1
2x 3y 6z 3,
1. Решить систему уравнений 5x 2 y 9z 7,
3x 2 y 5z 1.
2. |
Даны векторы |
a{2, 3, 4}, b{ 1, 2, 3}, c{1, 2, 3}. Найти Прc (a b) . |
3. |
Найти вектор а, если он перпендикулярен векторам c{2, 3, 4} и d{ 1, 2, 3}, |
|
| a | 4 и он составляет с осью Oy острый угол. |
||
4. |
Определить, |
какой является тройка векторов (правой, левой или |
компланарной), если a 3i j 2k , b 4i 3k , c i 5 j k .
|
Вариант №2 |
|
1. |
Найти координаты единичного вектора m , перпендикулярного оси Ох и |
|
вектору b{ 5, 3, 4}. |
|
|
2. |
Найти значение параметра , |
при котором векторы a i j 2k , |
b i j k , c i 3k компланарны. |
||
3. |
Вычислить косинус угла между диагоналями параллелограмма, три вершины |
|
которого находятся в точках A(3, 5, 7); |
B(7, 4, 2); C( 1, 1, 5) . |
Факультет автоматики и вычислительной техники
Вариант №1
1. Найти разложение вектора a{2, 7, 0} по базису из векторов p{2, 3, 1}, q{ 1, 2, 2}, r{1, 2, 1}. Коэффициенты разложения найти методом Жордана-
Гаусса. |
|
|
2. Даны вершины треугольника A(3, 2, 3); |
B(5, 1, 1); |
C(1, 2, 1) . Найти |
разложение векторов, совпадающих с его сторонами, по |
ортам декартовой |
85
прямоугольной системы координат. Определить площадь этого треугольника, внутренний угол при вершине А и длину медианы BN.
3. Определить, какой является тройка векторов (правой, левой или компланарной), если a 2i j 2k , b i 2 j 3k , c 3i 4 j 7k . Если это
возможно, найти объем параллелепипеда, построенного на данных векторах.
4. |
Даны |
векторы |
a 2i 3 j k , |
b 3i j 2k , |
c i 2 j 3k . |
Найти |
[[b c] a]. |
|
|
|
|
||
5. |
Найти |
косинус |
угла между векторами AB и |
AC , если A(2, 2, 3) ; |
||
B(1, 1, 2) ; C(4, 4, 5) . |
|
|
|
|||
6. |
Даны |
векторы |
a i 3 j 4k , |
b 3i 4 j 2k , |
c i j 4k . |
Найти |
проекцию вектора 3b 2c на ось вектора a . |
|
|
Вариант №2
1.При каком значении векторы a{ 2, 5} и b{3, } коллинеарны?
2.При каком значении векторы a{3, 1, } и b{2, 4, 3} перпендикулярны?
3.a{1, 2, 1}, b{2, 3, 4}, c{0, 1, 2}. Найти Прc (a b) .
4.Образуют ли базис векторы а, b и с из задачи №3?
5.Найти углы между осями координат и радиус-вектором точки M ( 2, 3, 1) .
Факультет экономики и управления
Вариант №1
1. Могут ли векторы a{ 2, 1, 2}, b{ 2, 4, 4}, c{4, 3, 2} быть сторонами треугольника?
2. В разложении вектора c 1a 2b по двум неколлинеарным векторам а и b
могут ли оба коэффициента 1 и 2 или один из них равняться нулю?
86
3.Коллинеарны ли векторы а и b, если коллинеарны векторы a b и a b ?
4.Изменится ли сумму компланарных векторов, если все слагаемые векторы будут повернуты в одном и том же направлении на один и тот же угол?
|
|
Вариант №2 |
|
|
1. |
Даны векторы a{ 3, 1, 0}, b{ 1, 3, 1}, |
c{ 2, 1, 2}. Найти Прa (b 2c) . |
||
2. |
Даны точки A( 2, 3, 1); |
B(1, 1, 2); |
C( 2, 1, 0); |
D(3, 1, 2) . Найти |
а) S BCD ; hD ;
б) VABCD ; H ABD .
3. Найти площадь треугольника, отсекаемого от координатного угла прямой y 5x 12.
87
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. |
а) 11; б) cos( ) ; |
в) 29; |
г) (a 1)3 . 2. |
а) 0; б) 2sin ; в) 0. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
а) 0 и 0; |
2 |
и –2; |
|
|
б) 5 |
|
и 5; |
–3 и 3; |
4 |
|
и –4; |
|
2 и 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. |
а) / 3 2 n, n |
; |
б) |
x ; |
в) |
x1 10, |
x2 2 ; |
г) 2 x 0. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
– 3. 6. а) sin 2 ; |
б) |
0; |
в) 1800. 8. а) x 1, |
y 1; |
б) |
x 2, |
y 0, |
z 1; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) x1 1, |
x2 2, |
|
x3 |
1. |
|
|
AB {1, |
5, 4}, |
|
BA { 1, 5, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
9. а) |
|
|
4}; б) |
42 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) cos 1/ |
42, |
cos 5 / |
42, |
cos 4 / 42 ; |
|
|
|
г) C( 1, |
7, 4) ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
д) OA { 1, 2, 3}, | OA | |
14 , cos 1/ |
14, |
cos 2 / |
14, cos 3/ |
14 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. arccos(2 / 3), |
|
arccos(1/ 3), |
arccos(2 / 3) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
а) 1) нет; 2) да; 3) да, например, вектор i; 4) да; 5) нет; б) / 2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
12. |
а) M1( |
3, |
|
|
3, |
3) |
и |
M2 ( |
3, |
|
|
3, |
|
3) ; |
|
|
б) M ( 4, 4, |
4 2) ; |
||||||||||||||||||||||||||
в) 1 45 , |
|
2 |
135 ; г) F {3, 3, |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
14. |
а) да; б) нет; |
в) да. |
15. а) |
AK p q / 2; |
|
BL (q p) / 2; CM q p / 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
16. |
а) нет; |
|
|
б) нет, |
да. |
|
|
17. AC p q; |
AC ' p q r; |
D ' B ' p q ; |
B 'C q r ; D ' B p q r ; DB ' p q r .
19.а) 13a b c ; б) 5a /12 7c / 6 .
20.22. Указание: использовать теорему геометрии: сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин всех его сторон.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21. a b . |
22. | a b | |
34 15 2 , |
| a b | |
34 15 2 . |
Указание: |
||||
использовать теорему косинусов. |
|
|
|
|
|
||||
23. а) a i 2 j 3k , b j 2k , c 3i ; |
б) a 3i 5 j , b j , c 4i . |
88
24. а) c {3, 1, 1}, d { 1, 3, 7}, |
p {7, 4, 1}, |
q { 3, 14, 31}; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
б) | a b | 11, | 5a 4b | 1166 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
в) cos 1/ |
|
14, cos 2 / |
14, cos 3/ |
14 . 25. а) 15 Н. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
26. |
a1 || a2 , |
противоположно |
|
|
направлены, |
a1 || a3 , |
|
одинаково |
направлены, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a2 || a3 , |
противоположно |
направлены; |
а4 || |
оси |
Ох, |
|
а5 || |
оси Оу, а6 || |
оси |
|
Оz, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
а7 || плоскости Оуz, а8 || плоскости Охz, а9 || плоскости Оху. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
27. |
а) линейно зависимы: |
a b c ; |
б) линейно независимы; |
в) линейно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зависимы: c 0 b 2a ; |
г) линейно зависимы. |
28. |
c 2 p 3q r . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
29. |
p 2a 3b . 30. |
|
| a | 70, |
|
|
cos 2 / 7, |
cos 3/ 7, |
cos 6 / 7 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
31. | a | m2 |
m 1. |
|
|
|
|
|
|
Указание: |
использовать |
формулу |
алгебры |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
32. | a | 3/ 5, |
|
cos 1/ 3, cos 2 / 3, |
cos 2 / 3. |
33. D( 4, 0, 10) . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
35. |
C( |
11 |
, |
13 |
, |
|
5 |
), D( |
13 |
, |
11 |
, |
|
|
4 |
) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
36. |
а) Число; б) вектор; в) число; г) вектор; д) число; е) вектор; ж) число. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1) а) a d 1, |
|
|
|
|
|
a d { 2, |
|
|
|
|
|
|
| a d | 1, |
| a d | |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
37. |
|
|
|
|
|
7, |
4}, |
|
|
|
|
69 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б) (2a b) c 30, |
|
|
|
|
|
|
(2a b) c {9, 15, 18}, |
| (2a b) c | 30 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
| (2a b) c | 3 70 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (a, b, d ) 11, |
|
(a, b, c) 0 ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
г) (a d) c { 21, 30, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д) 1 arccos( 1/ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
42}; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
70) , |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
arccos( |
|
|
10 /17); |
|
|
е) { 2 / |
5, |
0, 1/ 5}, 30 / |
34 , |
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a b . |
4) да. 5) да, тройка a, b, d правая, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2) S |
69 , |
|
S |
|
69 / 2 . 3) |
a || c, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V = 11; тройка b, d, c левая, V = 33. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
38. |
а) левая; б) ни правая, ни левая, векторы компланарны; в) правая; г) левая. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
39. |
б) |
S |
7,5 |
|
|
hB 5 ; |
в) V 7,5; |
HC 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) 14 7 |
|
|
|
|
б) 5; в) 8 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
41. |
3 ; |
|
3 ; |
|
|
г) 0 . |
42. а) 7; |
б) 24. |
|
|
|
|
|
|
|
89
43. а) –8; |
{6, 4, 6}; б) –8; |
{ 12, 8, 12}; в) 0, компланарны. |
45. 5. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46. |
4 / 3, |
26 / 10 , { 136 / 3, |
68 / 3, 136 / 3}. 48. 19. 49. x {1, |
0, |
1}. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
50. |
a b 28, a b 8i 32 j 16k . 51. а) 40 10 |
2 и 22 2 ; |
б) |
17 2 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
и 9 |
|
3 . 54. | BA F | 15, cos 2 / 3, cos 2 / 3, |
cos 1/ 3. |
|
|
|
90