vector

AO

;

OD

(***)

x

xA xD

,

y

yA yD

,

z

zA zD

.

O

1

O

1

O

1

0 xB 1

xB 1,

1 yB 2

yB 3,

следовательно,

B(1, 3, 6) .

3 zB 3

zB 6,

2 xC 1

xC 3,

0 yC 2

yC 2,

следовательно,

C(3, 2, 4) .

1 zC 3

zC 4,

xD

1 3

2,

yD

3 2

5

,

zD

6 4

5,

D(2,

5

, 5) .

2

2

2

2

2

Наконец, по формулам (***) находим координаты точки О:

AO

2

2;

OD

1

x

1 2 2

5

,

y

2 2 5 2

7

,

z

3 2 5

13

,

O

2

1 3

O

2

1

3

O

2 1

3

А

С

D

В

λ точки возьмем точку В; она лежит вне

отрезка и

потому λ < 0. Т.к.

CB 2BD , то

CB

2 . Тогда по формулам (17):

BD

x

B

xC xD

7 ( 2) ( 5)

17,

1

2 1

y

B

yC yD

0 ( 2) 0

0,

1

2 1

z

B

zC zD

3 ( 2) 0

3,

1

2 1

следовательно,

B( 17, 0, 3) .

Теперь рассмотрим деление отрезка СD в отношении λ1 точкой А; она

лежит вне отрезка, и потому λ

< 0. Т.к. CA

1

AD , то

CA

1

. Тогда

1

2

AD

2

1

по формулам (17):

x

A

xC 1 xD

7 ( 1/ 2) ( 5)

19,

1/ 2 1

1 1

y

A

yC 1 yD

0 ( 1/ 2) 0

0,

1 1

1/ 2 1

z

A

zC 1 zD

3 ( 1/ 2) 0

6,

1 1

1/ 2 1

следовательно,

A(19, 0, 6) .

Требуемые координаты вектора BA находим по формулам (10):

BA {19 ( 17), 0 0, 6 ( 3)} {36,

0, 9}. ■

№10. Найти углы, которые вектор a {2,

1,

2} образует с осями

координат.

1)

45 ,

45 , 150 ; 2)

120 , 30 ,

90 ;

3) 0 , 90 , 90 ;

4) 60 , 145 ;

5)

30 ,

150 ?

б) Какой угол образует с осью Oz вектор а, если с осями Ох и Оу он

образует углы 60 ,

150 ?

образующего с координатными осями Ох и Оу углы

60 . Найти

проекции вектора силы на координатные оси.

b

c

d

а

а) а + b + c; б) – b + c;

в) c + d;

г) c – d;

д) 3b + c / 2;

е) – 2d + а / 3;

ж) а + b + c + d.

№14.

Дан прямоугольник

ABCD.

Коллинеарны

ли

векторы:

а) AD и

CB ;

б) AD AB и DA DC ; в) DA AB и BC CD?

№15.

Дан треугольник АВС, в котором AB p ,

BC q . Выразить

через

окружности. Равны ли векторы OM и ON ; OM и NO ?

№17. В параллелепипеде АВСDA'B'C'D'

AB p ,

AD q ,

AA' r .

Выразить через векторы p, q и r векторы AC ,

AC ' , D ' B ' , B 'C , D ' B , DB '.

№18. Показать на чертеже и алгебраически,

что для любых векторов p и q

а) ( p q) (q p) 2q ;

б) ( p q) ( p q) 2q ;

в)

p q

q

p q

.

2

2

№19.

Упростить выражения:

а) 2(3a 4b 5c) 3(a 2b 3c) 5(2a 3b 4c) ;

б)

2a 3b 4c

5a 6b 2c

a 2b 6c

.

2

3

4

№20.

Даны | a | 13,

| b | 19,

| a b | 24. Найти | a b | .

№21.

Как должны быть расположены векторы а и b, чтобы модуль их суммы

№22.

Векторы а

и b образуют угол

45 ,

| a | 3; | b | 5 . Определить

| a b | и | a b | .

№23.

Представить следующие векторы в виде разложения по координатному

базису i, j, k в пространстве и по базису i, j на плоскости:

а) a {1, 2, 3}, b {0, 1, 2}, c {3, 0,

0};

б) a { 3,

5}, b {0, 1}, c {4,

0}.

№24.

Даны векторы a i 2 j 3k, b 2i j 4k . Найти:

а) векторы c = а + b; d = а – b;

р = 3а + 2b;

q = 5а – 4b;

б) | a b |,

| 5a 4b |;

в) направляющие косинусы вектора а.

№25.

Три силы

M , N и P , приложенные в

одной

точке, имеют взаимно

№26. Даны

векторы a1 {2,

4, 6},

a2 { 1, 2, 3},

a3 {4, 8, 12},

a4 {6, 0,

0},

a5 {0, 5, 0},

a6 {0,

0, 2}, a7 {0, 1, 3},

a8 {2, 0, 1},

a9 {3, 4,

0}.

Какие из этих векторов коллинеарны (и как направлены: в

б) a1 i,

b1 i j,

c1 2k ;

в) a2 {1,

2}, b2 {0, 3},

c2

{ 2, 4};

г) a3 {1, 2,

3}, b3 {0,

2,

0}, c3 {0, 4,

0}, d3 { 5, 1, 3}.

№28. Даны три

вектора

p {3, 2, 1},

q { 1, 1, 2},

r {2, 1, 3} .

Разложить вектор c {11, 6, 5} по базису p, q, r.

№29. Даны три вектора a {3, 1},

b {1, 2},

c { 1, 7}. Определить

разложение вектора р = а + b + с по базису а, b.

№32.

Вычислить модуль вектора

a i 2 j k

4(i 2 j) 3k

и найти его

5

направляющие косинусы.

№33.

Даны вершины

A(2, 2, 2) ,

B(6, 5, 0) , C(0, 3,

8) параллелограмма

ABCD. Найти координаты вершины D.

№34.

Проверить, что

четыре точки A(3, 1,

2) ,

B(1,

2, 1) ,

C( 1, 1, 3) ,

D(3, 5, 3) служат вершинами трапеции.

№35.

Отрезок АВ, где A(3, 5, 2) ,

B(5, 3, 1)

точками С и D разделен на три

равные части. Найти координаты точек С и D.

Обозначается a b, (a b), (a, b) .

a b | a | | b | cos ,

(18)

где (a, b) – угол между векторами а и b.

a b (a, b) 0

.

(19)

 Скалярный квадрат вектора:

a2 a a | a |2 .

(20)

Замечание 4. Полезно

обратить внимание на

любопытное свойство

квадрата вектора: a2 | a |2

| a |

a2 a,

a2 a .

Если заданы координаты векторов a {ax , ay , az } и

b {bx , by , bz }, то

их скалярное произведение можно вычислить по формуле:

a b axbx ayby azbz .

(21)

В частности, a a a2

a2

a2

, откуда с учетом формулы (20)

получается

x

y

z

cos

a b

arccos

a b

.

(22)

| a | | b |

| a | | b |

вектор или на ось вектора.

В

Пусть дан вектор a AB

а

и прямая l

(рис. 27). Опустим

А

перпендикуляры из точек А и В

на эту прямую. Получим точки

А'

B'

А' и В'.

есть

е

l

Вектор A B

векторная

ортогональная

Пре а

проекция вектора а на прямую или

Рис. 27.

Преa . Из рис. 27 видно, что

Преa | a | cos ,

(23)

Пр a

(a, e)

и

Пр a

(a, e)

e .

(24)

е

| e |

e

| e |2

называется правой, если i,

j, k – левая тройка, то и система координат – левая.

Определение. Векторным произведением векторов а и b называется

вектор с, который удовлетворяет следующим трем условиям:

1) вектор с перпердикулярен каждому сомножителю

c a, c b;

2) вектор с имеет длину

|c| | a | | b | sin ,

(25)

где (a , b) угол между векторами а и b;

3) тройка векторов a, b, c правая.

Обозначается a b, [a b],

[a,b] .

Геометрический

смысл

векторного

[a, b]

произведения.

Модуль векторного

произведения

S = | a×b |

векторов а и b равен площади параллелограмма,

b

S

построенного на векторах а и b как на сторонах

а

(рис. 29):

Рис. 29.

S

a b

.

(26)

 Антикоммутативность: a b b a .

 Дистрибутивность: a (b c) a b a c .

 Ассоциативность: [ a b] [a b] [a b].

 Если векторы а и b коллинеарны, то a b 0 , в том числе:

a a 0 .

(27)