vector
.pdfУтверждение 2. Если вектор а задан двумя точками: началом в точке
M (xM , yM , zM ) и концом в точке N (xN , yN , zN ) , т.е. a MN (рис. 12), то его
декартовы координаты ax , ay , az находятся по формулам:
ax xN xM ,
ay yN yM , |
(10) |
az zN zM .
Модуль вектора а вычисляется по формуле:
|
|
z |
|
|
|
|
A(xA, yA, zA) |
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
|
|
х |
i |
О |
у |
|
|||
|
|
|
| a | a2 |
a2 |
a2 . |
|
(11) |
x |
y |
z |
|
|
Определение. |
Косинусы |
углов |
||
, , , которые вектор образует с осями |
||||
координат |
(cos , cos , cos ) , называются |
|||
направляющими косинусами этого |
вектора |
|||
(рис. 11). |
|
|
|
Они представляют собой компоненты единичного вектора и связаны соотношением:
Рис. 11. |
cos2 cos2 cos2 1. |
(12) |
Координаты вектора связаны с его направляющими косинусами |
||
следующим образом: |
|
|
|
ax | a | cos , |
|
|
ay | a | cos , |
(13) |
|
az | a | cos . |
|
Замечание 2. |
Соотношения (11)-(13) справедливы только |
в |
прямоугольной декартовой системе координат.
31
z
az
N(xN, yN, zN)
a
|
k |
|
M(xM, yM, zM) |
ay |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
j |
||
i |
О |
|
|
у |
|
|
|
||
|
|
|
|
aх
х
Рис. 12. |
|
|
ПРИМЕР 2.4.1. Даны точки |
A(1, 2, 0), |
B( 2, 3, 1) , вектор |
a {0, 1, 2}. Найти:
а) координаты вектора AB и противоположного вектора;
б) модули векторов AB и BA;
в) направляющие косинусы вектора AB ;
г) координаты точки С, с которой совпадает конец вектора а, если его начало совпадает с точкой В.
Решение. а) Начало вектора b AB совпадает с точкой А, конец – с
точкой В. Используя формулы (10), находим координаты bx , by , bz вектора
AB :
32
bx xB xA 2 1 3, by yB yA 3 ( 2) 5, bz zB zA 1 0 1.
Следовательно, AB { 3, 5, 1}, тогда противоположный вектор BA имеет координаты BA {3, 5, 1}.
б) Применяя формулу (11), получим:
| AB | ( 3)2 52 ( 1)2 35 | BA | .
в) Направляющие косинусы вектора AB находим из формул (13):
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
, |
|
|
3 |
|
35 cos |
|
cos |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
35 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
35 cos |
|
cos |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
35 |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
||||||||||
1 |
35 cos |
|
cos |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
35 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
г) Имеем a BC . Обозначая координаты точки С через xC , yC , zC , с |
|||||||||||||||||||||
помощью формул (10) получим уравнения: |
|
||||||||||||||||||||
0 xC ( 2), |
|
1 yC 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 zC ( 1). |
||||||||||
Откуда xC 2, |
yC 4, |
zC 1 и, следовательно, C( 2, |
4, 1) .■ |
||||||||||||||||||
ПРИМЕР 2.4.2. Может ли вектор составлять с координатными осями |
|||||||||||||||||||||
углы: а) 45 , |
|
135 , 60 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) 150 , |
30 ? |
Решение. а) Проверяем, выполняется ли соотношение (12):
cos2 45 cos2 135 cos2 60
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
4 |
|
4 |
|
Ответ: не может.
б) Поскольку угол γ не задан, попытаемся найти его из соотношения (12):
cos2 150 cos2 30 cos2 1,
33
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
3 |
cos2 1, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
cos2 1 |
cos2 |
|
1 |
. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Ответ: не может.■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР 2.4.3. Дан модуль вектора | a | 3 |
и углы, которые этот вектор |
||||||||||||
составляет с осями координат 45 , |
|
60 , |
120 . Найти проекции |
||||||||||
вектора а на координатные оси. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Отмечая, что |
cos2 45 cos2 60 cos2 120 1, искомые |
||||||||||||
проекции ax , ay , az находим по формулам (13): |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ax | a | cos 3cos 45 |
3 |
|
2 |
, |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ay | a | cos 3cos 60 |
|
3 |
, |
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
az | a | cos 3cos120 32 . ■
ПРИМЕР 2.4.4. Определить координаты точки М и координаты ее радиус-вектора, если последний составляет с координатными осями
одинаковые углы и его модуль равен 53 .
Решение. Т.к. , то соотношение (12) приводит к уравнению cos2 cos2 cos2 1,
разрешая которое относительно cos , получим cos2 13 cos 13 .
Координаты точки M (xM , yM , zM ) совпадают с координатами ее радиус-
вектора, т.е. вектора OM {xM , yM , zM }. Т.к. получено два значения cos ,
то по формулам (13) имеем два радиус-вектора OM1, OM 2 и две точки М1 и
М2:
34
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xM1 |
yM1 |
zM1 |
5 |
3 |
|
|
5 |
|
|
M1(5, 5, 5), |
OM 1 {5, 5, 5}; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
xM 2 |
yM 2 |
zM 2 |
5 3 |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
3 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 ( 5, 5, 5), |
OM 2 |
{ 5, 5, 5}. ■ |
||
ПРИМЕР 2.4.5. По данным векторам |
а, b |
и |
с |
(рис.13) построить |
|||
векторы: |
|
|
|
|
|
|
|
а) a b; |
б) a b ; |
в) a b ; |
г) a b c ; |
д) a / 2 ; |
е) 2b ; ж) 2b a / 2. |
|
b |
c |
а |
|
|
|
|
Рис. 13.
Решение. а, б) В произвольной точке А (рис.14) строим вектор, равный вектору а, и вектор, равный вектору b, после чего на этих двух векторах, как на сторонах, строим параллелограмм АBCD. Тогда по правилу параллелограмма
его направленная диагональ, |
выходящая из точки А, |
будет |
вектором |
|||||||
AC a b , |
а вторая диагональ этого параллелограмма |
с |
направлением от |
|||||||
конца вектора b (точка В) в |
конец |
вектора |
а |
(точка |
D), будет |
вектором |
||||
BD a b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
а + b |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b |
|
|
а – b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
K |
|
|
A |
а |
|
D |
|
|
|
|
– а – b |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Рис. 14. |
|
|
|
|
|
|
в) По |
свойству |
|
линейных |
операций |
|
над |
векторами |
|||
a b (a b) AC CA, |
т.е. у |
вектора |
AC a b |
надо |
изменить |
направление или в точке А построить вектор AK CA (рис. 14).
г) Строим вектор a b c по правилу треугольника, используя свойство
линейных операций: a b c (a b) c AC c (рис. 15а). От конца уже
35
построенного вектора a b (точка С) откладываем вектор CE , равный вектору
с, и соединяем начало первого (точка А) с концом последнего (точка Е),
получаем вектор AE a b c . |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
C |
|
|
|
H |
|
|
A |
|
|
A |
|
а |
с |
b |
|
|
с |
|
|
G |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
а + b + с |
Е |
а + b + с |
|
Е |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 15а. |
|
Рис. 15б. |
|
|
|||
Иначе: можно в произвольной точке А построить вектор |
AG , |
равный |
||||||
вектору а (рис. 15б), от его конца (точка G) отложить вектор |
GH , |
равный |
вектору b, от конца последнего (точка Н) отложить вектор HE , равный вектору
с, и, наконец, соединить начало первого вектора (точка А) с концом последнего
(точка Е) и получить вектор AE a b c .
|
М |
L |
2b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
2b – а/2 |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F – а/2 A |
а |
|
D |
|
|
|
|
|
|
Рис. 16. |
|
|
|
|
|
|
д) Рис. 16: на продолжении вектора AD a |
откладываем отрезок AF, |
||||||||
длина которого в два раза меньше длины отрезка AD. Получаем вектор |
AF с |
||||||||
направлением, противоположным вектору а (согласно определению λ а). |
|
||||||||
е) Рис. 16: продолжаем вектор AB за точку В на длину вектора |
AB , |
||||||||
получаем вектор AL 2b . |
|
|
|
|
|
|
|
||
ж) Рис. 16: т.к. |
2b a / 2 2b ( a / 2) AL AF , |
то |
по |
правилу |
|||||
параллелограмма, построенного на векторах |
AL |
и AF , |
как |
на |
сторонах, |
диагональ, выходящая из точки А в направлении точки М, будет искомым вектором AM 2b a / 2 . ■
36
ПРИМЕР 2.4.6. Доказать, что при любом расположении точек А, В и С
справедлива формула AB BC CA 0.
Решение. Как бы ни были расположены точки А, В и С (на рис. 17
показаны три из возможных вариантов), складывая векторы по правилу треугольника, имеем: от конца вектора AB (точка В) откладываем вектор BC ,
затем от конца вектора BC (точка С) откладываем вектор CA, начало результирующего вектора совпадает с началом первого из векторов-слагаемых,
т.е. с точкой А, а конец – с концом последнего из векторов-слагаемых, т.е. с той же точкой А. Таким образом, у результирующего вектора начало совпадает с концом, это и есть нуль-вектор 0 . Справедливость формулы доказана. ■
|
|
CA |
|
В |
|
|
|
A |
С A |
В |
С |
|
AB |
|
BC |
CA |
С |
BC |
|
A |
|
|
В |
|
AB |
|
|
|
Рис. 17. |
|
|
ПРИМЕР 2.4.7. Показать, что |
| a b | |
| a | | b | . При каком |
условии на векторы а и b имеет место знак равенства?
Решение. Если векторы а и b не коллинеарны, то три вектора а, b и
а + b образуют треугольник (рис. 18а), в котором длина одной стороны | a b |
меньше суммы длин двух других сторон | a | | b | по неравенству треугольника.
37
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
b |
|
|
|
|
а |
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а + b |
|
|
|
|
|
|
а + b |
|
|
а + b |
|
|
||||
|
Рис. 18а. |
|
|
Рис. 18б. |
|
|
Рис. 18в. |
|
|||||||||
|
Если |
векторы |
а |
и b |
коллинеарны и |
одинаково |
направлены, |
то |
|||||||||
| a b | | a | | b | (рис. 18б). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Если векторы а и b коллинеарны и направлены противоположно, |
то |
|||||||||||||||
| a b | |
|
| a | | b | |
|
|
(рис. 18в).■ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ПРИМЕР 2.4.8. Векторы |
а и b образуют |
угол |
120º, |
| a | 3, |
| b | 5 . |
|||||||||||
Вычислить | a b | и | a b | . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Решение. На |
рис. |
19 изображены |
|
а + b |
C |
|
|
|||||||||
|
А |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а – b |
|
|
вектор |
|
|
a OA |
и |
b OB . |
Согласно |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
правилу |
|
|
параллелограмма, векторы а + b |
|
а 120º |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
и |
а – b |
являются |
диагоналями |
|
О |
b |
60º |
В |
|
||||||||
параллелограмма ОАСВ (рис. 19). |
|
|
Рис. 19. |
|
|
||||||||||||
|
Применим теорему косинусов к треугольнику ОАВ: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
| a b |2 | a |2 |
| b |2 |
2 | a | | b | cos |
( AOB) |
|
|
|
или
| a b |2 32 52 2 3 5 cos120 9 25 30 ( 1/ 2) 49 ,
следовательно, | a b | 7 .
Применяя ту же теорему в треугольнике ОСВ, получим:
| a b |2 | a |2 | b |2 2 | a | | b | cos |
( OBC) |
или
| a b |2 32 52 2 3 5 cos 60 9 25 30 (1/ 2) 19,
и тогда | a b | 19 . ■
38
ПРИМЕР 2.4.9. Даны векторы a {3, 2, 6}, |
b { 2, 1, |
0}. |
|||||||||||
а) Найти векторы 1) a b ; |
2) |
a b ; |
3) 2a ; |
4) |
b |
; |
5) |
b |
2a . |
||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
б) Вычислить | a | , | a b | и |
|
|
b |
2a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) Найти направляющие косинусы векторов а и b / 2. |
|
|
|
||||||||||
Решение. а) По формуле (5) находим |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) a b {3 2, 2 1, |
6 0} {1, 1, 6}. |
|
|
|
|
|
|
||||||
По формуле (6) получаем b {2, 1, 0}, тогда по формуле (5) |
|
|
|||||||||||
2) a b a ( b) {3 2, 2 1, 6 0} {5, 3, |
6}. |
|
|
По формуле (6)
3)2a 2 {3, 2, 6} { 6, 4, 12}.
4)b / 2 { 2 / 2, 1/ 2, 0 / 2} { 1, 1/ 2, 0}.
По формуле (5), используя результаты 3), 4), имеем
5) b2 2a { 1, 12 , 0} { 6, 4, 12} { 7, 92 , 12}.
б) Воспользовавшись результатом 1), 5) пункта а), по формуле (11)
находим
| a | 32 ( 2)2 62 9 4 36 7 ,
| a b | 12 ( 1)2 62 38 ,
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( 7)2 (9 / 2)2 ( 12)2 |
|
|
|
||
2a |
|
853 / 2 . |
|||||
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
в) С использованием результата б) по формулам (13) для вектора а имеем
3 7 cos |
|
cos 3 / 7, |
2 7 cos |
|
cos 2 / 7, |
6 7 cos |
|
cos 6 / 7. |
Чтобы воспользоваться теми же формулами для вектора b / 2, надо сначала
вычислить его модуль: b / 2 ( 1)2 (1/ 2)2 02 5 / 4 5 / 2 . Тогда
39
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 |
|
cos |
|
cos 2 / 5, |
||||||||||||||||
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
5 |
cos |
|
cos 1/ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
5, |
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
5 |
cos |
|
cos 0. ■ |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ПРИМЕР 2.4.10. Даны |
проекции |
силы F на координатные оси: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||
F {4, |
4, 4 2}. Найти величину силы F и направление ее действия. |
Решение. Величина силы F есть
| F | 42 42 ( 42)2 16 16 32 8.
Направление вектора задают его направляющие косинусы, которые
определим по формулам (13): |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 8cos , |
4 8cos , |
4 2 8cos . |
||||
|
|
|
|
|
|
||
Откуда |
cos 1/ 2, |
cos 1/ 2 , |
cos 2 / 2. |
Следовательно, вектор силы F образует с координатными осями Ох, Оу, Оz
углы 60 , 60 , 135 соответственно. ■
ПРИМЕР 2.4.11. Проверить коллинеарность векторов a {2, 6, 8} и b { 1, 3, 4}. Установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как
они направлены – в одну или в противоположные стороны.
Решение. Проверяем условие коллинеарности (8):
2 6 8 2 ,
1 3 4
следовательно, векторы а и b коллинеарны, причем a 2b , значит, вектор а длиннее вектора b в два раза, направлены эти векторы противоположно
( 2 0 ). ■
40